教学目标掌握三角网条件评差方法和程序.

第3讲

教学目标：掌握三角网条件评差方法和程序。

重点难点：条件方程列立，闭合差检核

第3章 控制网平差

3—1 概述

在测量工作中，常要确定某些几何量的大小。由几何量组成的模型称为几何模型。 为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通过它们来确定。能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，简称必要元素；必要元素的个数用t 来表示。必要元素不仅要考虑其个数，而且要考虑它的类型。由此可知，当某个几何模型给定之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数t 及其类型，t 只与几何模型有关，与实际观测无关。 约定：L ~――真值， L ――平差值， Ｌ――观测值

在一个几何模型中，除了t 个独立量以外，若再增加一个量，则必然产生一个相应函数

关系式。例，必要量选为1~L 、2~L 、1~S ，若增加一个量3~L ，

则存在 180~~~321=++L L L ，

若再增加一个量2~S ，则有 1

212~s i n ~

s i n ~~L L S S = 由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为t 个，除此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式，这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。

在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小就必须进行观测。如果总共观测了该模型中n 个量的大小，若观测个数少于必要元素的个数，即n ＜t ，显然它无法确定该模型，即出现了数据不足的情况；若观测了t 个独立量，n =t ，则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量，故不存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有粗差甚至错误，都将无法发现，在测量工作中是不允许这样做的。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的精度，就必须使n ＞t ，若令

r =n –t （3-1）

式中n 为观测值的个数，t 称为必要观测数，r 称为多余观测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。一个几何模型如果有r 个多余观测，就产生r 个条件方程。

由于观测下不可避免地存在偶然误差，当n >t 时，几何模型中应该满足r =n -t 个条件方

程，实际存在闭合差而并不满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。

一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。

3—2 测量平差的数学模型

在测量工程中，涉及的是通过观测量来确定某些几何量或物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同，它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研究任何平差方法时必须予以考虑。

函数模型是由描述观测量和待求量间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描述观测量及其相互间统计相关性质的模型。对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，与此相应，就产生了不同的平差方法。

一、条件平差法

以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法 。

一般而言，如果有n 个观测值1

,n L ，t 个必要观测，则应列出r =n –t 个条件方程，

n r A ,1

,,1,~r n r n O A L =+ （3-8） A 为常数向量， 将v L L +=代入，并令

A AL W += （3-9）

则（3-8）式为

0=+W AV （3-10）

（3-8）或（3-10）式为条件平差的函数模型。

条件平差的自由度极为多余观测数r ，即条件方程的个数。

二、间接平差法

在一个几何模型中，最多只能选出t 个独立量，如果在进行平差就选定t 个独立量为参数，那么通过这t 个独立参数就能唯一地确定几何模型了。换言之，模型中的所有量都一定是这t 个独立参数的函数，亦即每个观测量都可表达成所选t 个独立参数的函数。

选择几何模型中t 个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n 个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称参数平差法。

尽管间接平差法是选了t 个独立参数，但多余观测数不随平差不同而异，其自由度仍是r =n -t 。

3—3 条件平差原理

某一平差问题，如必要观测数为t ，则只能选出t 个独立的未知数，每增加一个未知数，

就会产生一个应满足的条件方程。在条件平差法中选n 个观测量的平差值L

ˆ作为未知数，由于多选了r =n –t 个未知数，因而就产生了r 个条件方程。条件平差法就是在满足r 个条件方程的需求下，求函数V T PV =min 的V 值，在数学中是求函数的条件极值问题。

一. 基础方程和它的解

设有r 个平差值线性条件方程：

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ022110221102211r L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （3-23） 式中a i 、b i 、…、r i （i=1,2,…,n ）

为条件方程系数，a 0、b 0、…、r 0为条件方程常数项。将（3-22）式代入上式，得条件方程为

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬⎫

=-+++=-+++=-+++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a （3-24） 式中a w 、b w 、…、r w 称为条件方程的闭合差，或称不符值，其值为

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬⎫

++++-=++++-=++++-=)()()(022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n r n n b n n a （3-25） 设

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n r r r r b b b a a a A 2

121

21,，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r b a r w w w W 1,，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n v v v V 211,，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001,r b a A r ，⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n L L L L 211,