高数曲线积分和曲面积分
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2 2
18
小结 本节主要学习了对面积的曲面积分的概念,以 及对面积的曲面积分的计算方法。 本节要求理解对面积的曲面积分的概念,了解 曲面积分的性质,熟练掌握对面积的曲面积分的计 算。
下节课的内容:对坐标的曲面积分
19
9.3.1
对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算
1
9.3.1、对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 1．实例 曲面型物件的质量
曲面型物件占有O-xyz空间中的曲面Σ(Σ光滑或 分片光滑),且有连续的面密度为ρ(x,y,z),求曲面型物 z ( i , i , i ) 件的质量。
,
z
z ( x, y, z )dS ( x, y, z )dS
,
17
转动惯量
I x ( y 2 z 2 ) ( x , y , z )dS
I y ( x z ) ( x , y , z )dS
2 2
I z ( x y ) ( x , y, z )dS
dS I 2 2 R z
又Σ关于平面x=0对称，
1 关于变量x为偶函数 2 2 R z dS I 2 2 , 所以 2 1 R z
11
1 : x R 2 y 2 (－R≤y≤R，0≤z≤H) 其中
dS 1 x x dydz
2 y 2 z
（2）关于积分曲面的可加性 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 1 , 2 , 则有
5
1
f ( x , y , z )dS f ( x , y, z )dS
（3）关于被积函数的不等式性质 （4）估值定理 5、对称性的应用 （5）积分中值定理
若曲面关于xoy面对称，
“三投影”认清Σ 在xoy平面上的投影区域Dxy （2）如Σ ：x=x(y,z)，此时投影区域Dyz； 如Σ ：y=y(x,z)，此时投影区域为Dzx。
8
例1 计算曲面积分 dS，其中Σ 是球面 x2+y2+z2=a2
被平面 z=h(0<h<a)截出的顶部（如图）。
解：Σ的方程为
z
z a2 x2 y2 .
( x, y, z )dS
dS
4
4、对面积的曲面积分的性质
具有对弧长曲线积分同样的性质。 （1）关于被积函数的线性性质
k
1
f ( x , y , z ) k 2 g( x , y , z ) dS
k1 f ( x , y , z ) dS k 2 g( x , y , z ) dS
z H
O
I
H
0
1 2Rdz 2 2 R z
H
R y
x
z H 2 arctan 2 arctan R0 R
13
例3 计算
( xy yz zx )dS其中Σ ：锥面 z
x y
2
2
被柱面x2+y2=2ax（a>0）割下的部分 解：Dxy ：x2+y2 ≤ 2ax，
O x a
z a Σ h
a y
Dxy x2+y2≤a2－h2
1 z z
2 x 2 y
a a2 x2 y2
dS z
.
根据公式，有
adxdy a 2 x 2 y 2 D xy
9
利用极坐标，得
dS z
2 a 2 h2 ardrd r a 2 r 2 a 0 d 0 a 2 r 2 dr D xy
f ( x , y , z )dS
f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f ( x , y , z )
0 2 1 f ( x , y , z )dS
1 是在上半平面的部分。
6
二、对面积的曲面积分的计算法
1 2 2 2a ln( a r ) 2 0
a 2 h2
a 2a ln . h
10
Hale Waihona Puke Baidu
例2 计算曲面积分
dS x2 y2 z2
x
z
H
Σ 是介于z=0及z=H(H>0)之间的 柱面x2+y2=R2 解法一：在Σ 上有x2+y2=R2，所以
O
R y
R R y
2 2
dydz
于是
1 I 2 2 2 D yz R z
H
R R2 y 2
dydz
R dz dy 2 R 2 2 R 0 R z R2 y 2 H R H 2 arctan 2 arcsin 2 arctan R R R
12
解法二：用垂直于z轴的平面去截Σ dS =2πRdz
x y0,
16
注:对面积的曲面积分的应用 曲面型物件占有O-xyz空间中的曲面Σ(Σ光滑或 分片光滑),且有连续的面密度为ρ(x,y,z)
质心
x
x ( x, y, z )dS ( x, y, z )dS
,y
y ( x, y, z )dS ( x, y, z )dS
0
r cos r rdr
o
2a x
1 2 2 cos ( 2a cos ) 4 d 0 4 2 4 5 4 4 2 8 2a cos d 8 2a 1 64 2 a 4 0 5 3 15
2
15
例4. 解:
求半径为R 的均匀半球壳 的质心. 设 的方程为 利用对称性可知质心的坐标
M lim ( i , i , i )S i
0
i 1
n
其中λ 是n个小曲面 块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义 定义9.3.1 设曲面Σ是光滑的有限曲面，函数f (x,y,z) 在Σ上有界。若对Σ 做任意分割和局部区域任意取点,
“乘积和式极限”
lim f ( i , i , i )S i
0
i 1
n
记作
f ( x, y, z ) dS
都存在,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面 积的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中f (x,y,z)叫做被积函数，Σ 叫做积分曲面。
3
3、几点说明 (1)积分的存在性: 则对面积的曲面积分存在. (2)曲面型物件的质量为 M 曲面面积为 S 在光滑曲面 上连续,
计算方法可概括为“一代、二换、三投影”
7
说明 （1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影”
“一代” 将z=z(x,y)代入被积函数f (x,y,z)， 得f [x,y,z(x,y)]；
“二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 如Σ：z=z(x,y)，则
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
定理9.3.1: 设有光滑曲面
z
f (x, y, z)在上连续, 则曲面积分
o x Dx y
y
( x , y, z( x , y ))
f ( x , y , z )dS 存在, 且有
f ( x, y, z )dS
D xy
(d ) x y
f ( x , y , z( x , y ))
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
z
2dxdy
因为Σ 关于xoz面对称， xy+yz是y的奇函数，所以
( xy yz )dS 0
o x
y
14
I 0 2 x x y dxdy
2 2 Dx y
y
2 d
2 2
2 a cos
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小结 本节主要学习了对面积的曲面积分的概念,以 及对面积的曲面积分的计算方法。 本节要求理解对面积的曲面积分的概念,了解 曲面积分的性质,熟练掌握对面积的曲面积分的计 算。
下节课的内容:对坐标的曲面积分
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9.3.1
对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算
1
9.3.1、对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 1．实例 曲面型物件的质量
曲面型物件占有O-xyz空间中的曲面Σ(Σ光滑或 分片光滑),且有连续的面密度为ρ(x,y,z),求曲面型物 z ( i , i , i ) 件的质量。
,
z
z ( x, y, z )dS ( x, y, z )dS
,
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转动惯量
I x ( y 2 z 2 ) ( x , y , z )dS
I y ( x z ) ( x , y , z )dS
2 2
I z ( x y ) ( x , y, z )dS
dS I 2 2 R z
又Σ关于平面x=0对称，
1 关于变量x为偶函数 2 2 R z dS I 2 2 , 所以 2 1 R z
11
1 : x R 2 y 2 (－R≤y≤R，0≤z≤H) 其中
dS 1 x x dydz
2 y 2 z
（2）关于积分曲面的可加性 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 1 , 2 , 则有
5
1
f ( x , y , z )dS f ( x , y, z )dS
（3）关于被积函数的不等式性质 （4）估值定理 5、对称性的应用 （5）积分中值定理
若曲面关于xoy面对称，
“三投影”认清Σ 在xoy平面上的投影区域Dxy （2）如Σ ：x=x(y,z)，此时投影区域Dyz； 如Σ ：y=y(x,z)，此时投影区域为Dzx。
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例1 计算曲面积分 dS，其中Σ 是球面 x2+y2+z2=a2
被平面 z=h(0<h<a)截出的顶部（如图）。
解：Σ的方程为
z
z a2 x2 y2 .
( x, y, z )dS
dS
4
4、对面积的曲面积分的性质
具有对弧长曲线积分同样的性质。 （1）关于被积函数的线性性质
k
1
f ( x , y , z ) k 2 g( x , y , z ) dS
k1 f ( x , y , z ) dS k 2 g( x , y , z ) dS
z H
O
I
H
0
1 2Rdz 2 2 R z
H
R y
x
z H 2 arctan 2 arctan R0 R
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例3 计算
( xy yz zx )dS其中Σ ：锥面 z
x y
2
2
被柱面x2+y2=2ax（a>0）割下的部分 解：Dxy ：x2+y2 ≤ 2ax，
O x a
z a Σ h
a y
Dxy x2+y2≤a2－h2
1 z z
2 x 2 y
a a2 x2 y2
dS z
.
根据公式，有
adxdy a 2 x 2 y 2 D xy
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利用极坐标，得
dS z
2 a 2 h2 ardrd r a 2 r 2 a 0 d 0 a 2 r 2 dr D xy
f ( x , y , z )dS
f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f ( x , y , z )
0 2 1 f ( x , y , z )dS
1 是在上半平面的部分。
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二、对面积的曲面积分的计算法
1 2 2 2a ln( a r ) 2 0
a 2 h2
a 2a ln . h
10
Hale Waihona Puke Baidu
例2 计算曲面积分
dS x2 y2 z2
x
z
H
Σ 是介于z=0及z=H(H>0)之间的 柱面x2+y2=R2 解法一：在Σ 上有x2+y2=R2，所以
O
R y
R R y
2 2
dydz
于是
1 I 2 2 2 D yz R z
H
R R2 y 2
dydz
R dz dy 2 R 2 2 R 0 R z R2 y 2 H R H 2 arctan 2 arcsin 2 arctan R R R
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解法二：用垂直于z轴的平面去截Σ dS =2πRdz
x y0,
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注:对面积的曲面积分的应用 曲面型物件占有O-xyz空间中的曲面Σ(Σ光滑或 分片光滑),且有连续的面密度为ρ(x,y,z)
质心
x
x ( x, y, z )dS ( x, y, z )dS
,y
y ( x, y, z )dS ( x, y, z )dS
0
r cos r rdr
o
2a x
1 2 2 cos ( 2a cos ) 4 d 0 4 2 4 5 4 4 2 8 2a cos d 8 2a 1 64 2 a 4 0 5 3 15
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例4. 解:
求半径为R 的均匀半球壳 的质心. 设 的方程为 利用对称性可知质心的坐标
M lim ( i , i , i )S i
0
i 1
n
其中λ 是n个小曲面 块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义 定义9.3.1 设曲面Σ是光滑的有限曲面，函数f (x,y,z) 在Σ上有界。若对Σ 做任意分割和局部区域任意取点,
“乘积和式极限”
lim f ( i , i , i )S i
0
i 1
n
记作
f ( x, y, z ) dS
都存在,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面 积的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中f (x,y,z)叫做被积函数，Σ 叫做积分曲面。
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3、几点说明 (1)积分的存在性: 则对面积的曲面积分存在. (2)曲面型物件的质量为 M 曲面面积为 S 在光滑曲面 上连续,
计算方法可概括为“一代、二换、三投影”
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说明 （1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影”
“一代” 将z=z(x,y)代入被积函数f (x,y,z)， 得f [x,y,z(x,y)]；
“二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 如Σ：z=z(x,y)，则
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
定理9.3.1: 设有光滑曲面
z
f (x, y, z)在上连续, 则曲面积分
o x Dx y
y
( x , y, z( x , y ))
f ( x , y , z )dS 存在, 且有
f ( x, y, z )dS
D xy
(d ) x y
f ( x , y , z( x , y ))
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
z
2dxdy
因为Σ 关于xoz面对称， xy+yz是y的奇函数，所以
( xy yz )dS 0
o x
y
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I 0 2 x x y dxdy
2 2 Dx y
y
2 d
2 2
2 a cos