转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究

转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究
摘要：采用三线摆，双线摆，扭摆，测量不同刚性物体的转动惯量，并进一步验证平行轴定理，同时应用扭摆的特性测量切边模量。

关键字：转动惯量；平行轴定理；切变模量
转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量分布和转轴位置有关。

根据物体的规则与否，转动惯量的获得分为理论公式法与实验法。

对于规则物体，测量其尺寸和质量，即可通过理论公式计算获得；对于不规则、质量分布不均匀的物体则要通过实验测定。

一． 实验原理
（一） 双线摆
本实验中，认为双线摆是纯转动的理想模型。

这样，双线摆摆锤的运动可分解为：水平面上的转动以及竖直方向上的振动。

设均匀细杆质量
、长为
l
、绕通过质心竖直轴转动
的惯量为；两相同圆柱体的质量之和为2m 1,之间距离为2c ；双绳之间距离为d ，绳长L 。

由右图几何关系分析，当很
小时，，
得
8
1
)2cos -L(1=h 2θθL = （1）
由上式可得系统的势能为
2001
8
p E m gh m gL θ== （2）
杆的转动动能为20)(21dt
d I E k θ
=
（3）
由能量守恒得
图2几何分析
图１双线摆结构图
22000011
() 28
d I m gL m gh dt θθ+= （4）
用（4）关于时间求导，并除以，得
2020
04m gL d dt I θ
θ+= （5）
解上面的简谐振动方程，得杆的转动惯量：
2
02
0016T gL m I π=
（6）
测量物体的转动惯量：
2
02
()16x m m gL I T π
+= (7)
待测物体的转动惯量为：
2220000
0222
()()161616x x x m m gL m m gL m gL I T I T T πππ++=
-=- (8)
（二） 三线摆和扭摆
① 三线摆
左图是三线摆示意图。

上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。

三根对称分布的等长悬线将两圆盘相连。

拨动转动杆使圆盘进行小角度转动，当转动角很小时，忽律空气阻力，以及悬线扭力的影响，由刚体转动定理，得圆盘的转动惯量为
(9)
式中，m 0为下圆盘的质量；r 和R 分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H 0为平衡时上下圆盘间的垂直距离；T 0为下圆盘的摆动周期，g 为重力加速度。

将质量为m 的待测刚体放在下圆盘上，使其质心与转抽重合，测量出此时的周期T 和上下圆盘的距离H ，则总转动惯量为：
2
201T H
4gRr )m m (J π+= （9）
待测物的转动惯量为：J= （10）
②扭摆
将一金属丝上端固定，下端悬挂一刚体就构成扭摆。

如下图
忽略空气阻尼力矩的作用，根据刚体转动定理有
（11） 式中，0J 为刚体对悬线轴的转动惯量，θ
为角加速度。

弹性恢复力矩M 转角θ的关系为 θ-=K M （12）
式中，K 称为扭转模量。

它与悬线长度L ，悬线直径d 及悬线材料的切变模量G 有如下关系
（13）
扭摆的运动微分方程为 （14） 可见，圆盘作简谐振动。

其周期0T 为 （15）
实验中K 未知，将金属环放在圆盘上时复合体的转动惯量为J 0+J 1，转动周期为： T 0=
(16)
由式（15）（16）得：
（17）
1
20
2200J T T T J -=1
2
022
J T T 4K -π=θ
= 0J M L 32G d
K 4
π=
θ-=θ
J K K
J 2T 00
π=
（18）
测出T 和T 0就可以求得圆盘的转动惯量J 0与切边模量G 。

（三） 验证平行轴定理
若质量为1m 的物体绕过其质心轴的转动惯量为c I ，当转轴平行移动距离x
时（如右图所示），则此物体对新轴O O '的转动惯量为2
1x m I I c x += （19）
这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

①用双线摆验证平行轴定理：
将质量均为m 2，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在均匀细杆上。

按同样的方法，测出两小圆柱体和细杆的转动周期T X ，则可求出每个柱体对中心转轴O O '的转动惯量:
222
010*******
(2)(2)3223232x x x m m gL I m m gL m gL I T T T πππ
++=
-=- （20） 由平行轴定理计算得 ()
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=212
21211216
L m D D m x m I'x 内外 （21）
比较x I 与x I'的大小，相差5%以内则平行轴定理得证。

② 用三线摆验证平行轴定理
将二个同样大小的圆柱体放置在对称分布于半径为R 1的圆周上的二个孔上。

测出二个圆柱体对中
心轴OO ＇的转动惯量J x 。

如果测得的J x 值与由（19）式右边计算得的结果比较时的相对误差在测量误差允许的范围（≤5%），则平行轴定理得到验证。

二． 实验装置与实验方法
本实验使用的设备有：双线摆、扭摆及三线摆、水准仪、米尺、游标卡尺及待测物体等。

实验方法如下： （一）
周期
圆盘 25 32.8 32.7 32.7 32.6 32.6 32.68
O
O '
C
x
m
平行轴定理
测量前，根据水准泡得指示，调平底座平台。

双
线摆实验开始前先调节摆线长等于两线间的距离，即
d=.
（二）
打开计数器，调节适当的周期次数。

分别使摆进行小角度摆动，并记录周期，带入操作原理中得转动惯量计算式，求得待测物体的转动惯量，并验证平行轴定理。

三．数据记录及结果讨论
双线摆：L=12.00㎝=30.00㎝=0.266㎏
小圆柱参数： l=2.970㎝=2.260㎝=2.760㎝ X=13.75 =0.1㎏
双线摆各组实验项目平均周期的计算：
周期
细杆25 23.6 23.8 23.7 23.7 23.7 23.7
单圆柱25 20.7 20.6 20.6 20.6 20.6 20.62
双圆柱25 31.2 31.0 31.1 31.0 31.1 31.08
周期单位：s,下同
三线摆： R=9.430㎝ r=4.574 H=38.35㎝=1.013㎏
三线摆各组实验项目平均周期的计算：
=0.137㎏
三线摆双圆柱实验平均周期的计算：
距离d 周期
6.430 25 32.7 32.6 32.6 32.6 32.6 32.62 单圆
柱
25 30.7 30.8 30.8 30.8 30.6 30.74
扭摆
=0.539㎏=10.030㎝=11.990㎝ d=0.050㎝ L=42.50㎝
扭摆平均周期的计算：
周期
盘25 52.7 52.7 52.7 52.8 52.7 52.72
盘环25 89.7 89.7 89.7 89.7 89.7 89.7
由以上数据计算得：
双线摆转动惯量的计算：
由式（6）（8）带入实验数据:
细杆单圆柱双圆柱双圆柱理论相对误差
I 0.00178 0.0000742 0.00179 0.00189 0.052
三线摆转动惯量级相对误差的计算：
由式（9）（10）带入数据计算得
圆盘单圆柱
I 0.004832 0.000021
：
d/cm 双圆柱理论值相对误差
I 8.430 0.00105 0.000995 0.053
I 6.430 0.00064 0.000588 0.083
I 4.443 0.00030 0.00029 0.042
扭摆转动惯量及切变模量的计算：
由式（13）（17）（18）带入数据得
J1 J0 K G
0.00165 0.000871 0.00773 5.5*10^11
切变模量单位：GPa
由以上结果我们给出以下讨论:
(一).通过双线摆的测量和通过三线摆的测量，。

精度能达到要求，能用于转动惯量的测量和平行轴定理得验证
(二).对于三线摆，在测量过程中我们发现在距离转轴中心较远和较近的测量数据都与实际符合的很好，但在之间却有很大的偏差（超过允差0.033），经过分析认为带来这种误差增大的原因在于以下几点：
1.实验过程中，使三线摆摆动时，转轴OO；发生偏移：
2.圆柱在处于较远和较近的位置时，超出了上圆盘的投影范围（或者处于其中时），用于力矩作用，
使圆盘的摆动更趋于水平的小角度摆动。

四．结论
转动惯量的平行轴定理成立；转动惯量的测定符合实际情况。

参考文献：
【1】《大学物理》2011年第06期作者：王永超;朱力
【2】《长春理工大学学报(自然科学版)》2007年03期
【3】《辽宁科技大学学报》2011年04期
Determination of moment of inertia and verification of the
parallel axis theorem experimental
Abstrat:Using three-wire pendulum, double pendulum, torsion, to measure different rigid body moment of inertia, and further validating parallel axis theorem, and application characteristics of torsion modulus to measure trimming
Keyword:Moment of inertia;Parallel axis theorem;Shear modulus。