第二章流体静力学_流体力学

为零，则：
Px Py
Pn Pn
cos(n, cos(n,
x) y)
Fx Fy
0 0
（2—2）
Pz
Pn
cos(n,
z)
Fz
0
x方向受力分析:表面力：
Px
px
1 dydz 2
Pn
cos(n, x)
pn
1 dydz 2
（2—3）
n为斜面ABC的法线方向质量力： Fx X dxdydz / 6 （2-4）
（
, , p p p
x y z
）等于该方向上单位体积内的质量力的分
量 （ X 、Y 、Z ）。
二、平衡微分方程的全微分式
为对式(2—9)进行积分，将各分式分别乘以 dx、dy 、dz
然后相加，得（2-10）
p dx p dy p dz (Xdx Ydy Zdz)
x y z
压强p p(x, y, z)是坐标的连续函数，由全微分定理，
则由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向的压强不
再相等。流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算
术平均值， 即
p
1 3
( px
py
pz ) （2-6）
（3）.理想流体运动流体时，由于=0，不会产生切应力， 所以理想流体动压强呈静压强分布特性。
px py pz p
第二节、 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程——欧拉方程
1.欧拉方程
在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx, dy, dz,
设中心点的压强为p(x, y, z)=p，对其进行受力分析（如图
2—3）：
y向受力:
(p
p y
dy 2
)dxdz
表面力： ( p
p y
dy 2
)dxdz
质量力： Ydxdydz
根据平衡条件，在y方向有Fy=0，即：
(p
p y
第一节、 静止流体中应力的特性
一、基本概念
（一）静压力 静止流体对受压面所作用的全部压力。
（二）静压强 受压面单位面积上所受的静压力。 静止流体表面应力只能是压强（压应力），流体不能
承受拉力，且具有易流动性。
二、静止流体中应力的特性
（一）压强的基本特性: 静压强的方向垂直指向受压面。或者说静压强的方向 沿着受压面的内法线方向。 为了论证这一特性，在静止流体中任取截面N—N将 其分为Ⅰ、Ⅱ两部分，取Ⅱ为隔离体，Ⅰ对Ⅱ的作用由 N—N外面上连续分布的应力代替(图2—1)。
px
pn
1 3
dx
X
0
（2-5）
当四面体无限地趋于O点时，则dxO，因此，px p
类似地有： px py pz p
而 是任意选取的，所以同一点静压强大小相等，与 作用面的n 方位无关。
说明:（1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，
同一点各个方向的静压强大小相等。
（2）.运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，
式中 0 ，则等压面方程为
Xdx Ydy Zdz 0
以X、Y、Z为等压面上某点M的单位质量力 f 在坐标x、
y、z方向的投影，dx、dy、dz为该点处微小有向线段 dl 在
坐标x、y、z方向的投影，于是：
Xdx Ydy Zdz f dl 0
即 f 和 dl 正交。这里 dl 在等压面上有任意方向，由此
dy 2
)dxdz
(
p
p y
dy 2
)dxdz
Ydxdydz
百度文库
0
(2-7)
整理得：
Y
1
p y
0
(2-8)
流体平衡微分方程（即欧拉平衡微分方程，简称为欧 拉欧拉方程）：
X Y
1
1
p x
p y
0
0
(2-9)
Z
1
p z
0
2.物理意义
处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分
量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率
证明，等压面与质量力正交。
由等压面的这一性质，便可根据质量力的方向来判断等
压面的形状。例如，质量力只有重力时，因重力的方向铅
垂向下，可知等压面是水平面。若重力之外还有其它质量
力作用时，等压面是与质量力的合力正交的非水平面。常
见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的两种流
体的交界面等。
第三节 重力场中流体静压强的分布规律
例如静止液体的自由表面。
2.等压面的性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒
正交于等压面。
f
ds
0
（2-12）
运用平衡微分方程的综合式，证明等压面的这一重要 性质,即等压面与质量力正交。 证明：如图2—4，设等压面如图，因面上各点的压强相等
（p＝C), 即 dp 0 ，代入式(2—11)，得：
(Xdx Ydy Zdz) 0
（二）静压强的特性
静压强的大小与作用面的方位无关，即在仅受重力 作用的静水中，任意一点处各个方向的静压强均相等。
即有： px py pz p （2-1）
证明：从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取坐标
轴（如图2—2）。
由于液体处于平衡状态，则有 F 0 ，即各向分力投影之和亦
上式等号左边是压强力的全微分。
dp (Xdx Ydy Zdz) （2-11）
上式是欧拉方程的全微分表达式，也称为平衡微分方
程的综合式。通常作用于流体的单位质量力是已知的，将
其代入式(2—11)进行积分，便可求得流体静压强的分布规
律。
三、等压面
1.等压面
压强相等的空间点构成的面(平面或曲面)称为等压面，
dp (XdxYdy Zdz)
1、在重力作用下的静止流体，选直角坐标系为Oxyz，自 由液面的位置高度为z0，压强为p0，
液体中任意一点的压强为
dp (Xdx Ydy Zdz)
质量力只有重力，X＝0，Y＝0，Z＝－g
代入公式： 得到 dp dz p z C
第二章 流体静力学
第一节、静止流体中应力的特性 第二节、流体平衡微分方程 第三节、重力场中流体静压强的分布规律 第四节、流体的相对平衡 第五节、液体作用在平面上的总压力 第六节、液体作用在曲面上的总压力 第七节、潜体和浮体的平衡与稳定
本章学习要点：作用在流体上的力、静止流体 中应力的特性、 流体平衡微分方程、等压面、 静止液体和相对静止液体压强的分布、压强的 表示方法、液体作用在平面及曲面壁上的静水 总压力、压力中心。
一、液体静力学的基本方程 1.基本方程的两种表达式 在同一种均质的静止液体中，
任意点的静压强，与其淹没深度 成正比，与液体的重度成正比， 且任一点的静压强的变化，将等 值地传递到液体的其它各点
p p0 h （2-14）
重力作用下静止流体质量力：X Y 0，Z g
代入流体平衡微分方程的综合式：