常系数线性微分方程组的解法

常系数线性微分 方程组的解法
一、微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组． 称为微分方程组． 注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 注意： 个具有同一自变量的函数． 个具有同一自变量的函数． 常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组． 性微分方程组．
dy (1) dx = 3 y − 2z, 例1 解微分方程组 dz = 2 y − z. (2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得 式得
1 dz y = + z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz = 2 + , 两边求导得， 两边求导得， dx 2 dx dx
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 类似解代数方程组消去一个未知数 消去 x
(1) − ( 2) × D :
− x − D3 y = et , ( − D 4 + D 2 + 1) y = De t .
4 2 t
(３) ３ (４) ４ (５) ５
( 2) − ( 3) × D :
即
( − D + D + 1) y = e
注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 注意：在求得一个未知函数的通解以后， 一个未知函数的通解时，一般不再积分． 一个未知函数的通解时，一般不再积分．
三、小结
的使用； １．注意微分算子D的使用； 注意微分算子 的使用 ２．注意求出其中一个解，再求另一个解时 注意求出其中一个解， 宜用代数法，不要用积分法． ，宜用代数法，不要用积分法．避免处理两 次积分后出现的任意常数间的关系． 次积分后出现的任意常数间的关系．
二、常系数线性微分方程组的解法
步骤: 步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 解此高阶微分方程, 函数. 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数． 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
非齐线性方程
其特征方程为 − r 4 + r 2 + 1 = 0 解得特征根为
r1, 2
1+ 5 , r3 , 4 = ± iβ = ± = ±α = ± 2
5 −1 , 2
易求一个特解 y ∗ = e t , 于是通解为
y = C 1e
− αt
+ C 2e + C 3 cos β t + C 4 sin β t + e .
t
αt
(６) ６
代入(３ 得 将(６)代入 ３)得 ６ 代入
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t + β 3C 4 sin β t − 2e t .
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t + β 3C 4 sin β t − 2e t y = C1e − αt + C 2e αt + C 3 cos β t + C 4 sin β t + e t
代入(1)式并化简 把(3), (4)代入 式并化简 得 代入 式并化简,
( 4)
d 2z dz −2 +z=0 2 dx dx
解之得通解 z = (C1 + C 2 x )e x ,
( 5)
1 x 再把(5)代入 代入(3)式 再把 代入 式, 得 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e . (6) 2
n −1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
+ ⋯ + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意: 注意:
D n + a1 D n−1 + ⋯ + a n−1 D + a n 是 D 的多项式
可进行相加和相乘的运算． 可进ຫໍສະໝຸດ Baidu相加和相乘的运算．
d 2 x dy + − x = et dt 2 dt 例2 解微分方程组 2 d y + dx + y = 0. dt 2 dt d 解 用记号 D 表示 ,则方程组可记作 dt 2 t (１) １ ( D − 1) x + Dy = e (２) ２ Dx + ( D 2 + 1) y = 0
原方程组的通解为
1 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e x 2 , z = ( C + C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x求导的运算 , dx
例如， 例如， y
(n)
+ a1 y ( n −1 ) + ⋯ + a n −1 y ′ + a n y = f ( x )