高等代数知识结构

高等代数知识结构

二、高等代数知识结构内容（一）线性代数工具：线性方程组1.行列式1列式．积 n 21nj j 2j 1a a a

⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，， 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即

nn

n n n n a a a a a a a a a

2

1

2222111211=

()

()

n 21n 21n

21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-，这里

∑

n

21j j j 表示

对所有n 级排列求和.

a.行列式的性质：

性质1.行列互换，行列式不变。

性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数 乘此行列式。

性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。

性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同)

性质5.如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。 性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。 2.矩阵：

a.矩阵的秩：矩阵A 中非零行的个数叫做矩阵的秩。

b.矩阵的运算

定义 同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵． 矩阵相等：设n m ij a A ⨯=)(,n m ij b B ⨯=)(, 若 ij ij b a =),,2,1;,,2,1(n j m i ==, 称

B A =.

线性运算：n m ij a A ⨯=)(,n m ij b B ⨯=)( 加法：⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡++++=+=+⨯mn mn m m n n n

m ij ij b a b a b a b a b a B A

11111111)( 数乘：⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡==⨯mn m n n

m ij a k a k a k a k a k kA 1111)( 负矩阵：n m ij a A A ⨯-=-=-)()1( 减法：⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡----=-=-⨯mn mn m m n n n

m ij ij b a b a b a b a b a B A

11111111)( 矩阵的乘法定义：设 s m ij a A ⨯=)(,n s ij b B ⨯=)(

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡=ms m s a a a a AB 1111∆

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡sn s n b b b b 1111⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=mn m n c c c c 1111其中元素[]is i i ij a a a c 2

1

=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡sj j j b b b 21sj is j i j i b a b a b a +++= 2211),,2,1;,,2,1(n j m i ==

A 的列数 =

B 的行数。

AB 的行数 = A 的行数；

AB 的列数 = B 的列数． A 与B 的先后次序不能改变．

(5)矩阵的初等变换

矩阵的等价变换形式主要有如下几种：

1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换；

2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元；

3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去。 3.线性方程组

一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为

()i 式中(1,2,,)i xi n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)i j a i s j n ==称为方程组的系数，(

1,2,,)j b j n =称为常数项. 线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120

s bb b ====. 令

1112121

2221

2

n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12s b b B b ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

，

则()i 可用矩阵乘法表示为

A X

B =，,,.m n n m

A C X C

B

C ⨯∈∈∈

a.线性方程组的解法 1)消元法

在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用. 2)应用克莱姆法则

对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有 定理1 如果含有n 个方程的n 元线性方程组 的系数矩阵 的行列式

11

12

12122212

det 0n n n n nn

a a a a a a A a a a =

≠，

那么线性方程组()i i 有唯一解：

其中d e t j B 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项12,,,n b b b 所成的矩阵的行列式，即

此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组Ax b =的系数矩阵的行列式d e t 0A ≠，则线性方程组Ax b =一定有解，且解是唯一的. 广义逆矩阵A -

法

设m n

A C ⨯∈.如果存在n m G C ⨯∈，使得A G A A =，则称G 为矩阵A 的一个{1}-广义逆矩阵，记作A -.矩阵A 的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵