7.3任意项级数的敛散性判别

∴ ∑ ( un + | un |)也是收敛级数(正项级数的比较判别法 ).
n= n =1 ∞
n =1 n =1
∞
∞
从而∑ ( un + | un | − | un |) = ∑ un也是收敛级数.
∞
∞
注： | un |发散， ∑
n=1
∞ n
n =1 ∞
n =1
∑u 发散
n=1 n
∞
∞ ∞ 1 1 1 | （ − 1） |= ∑ 发散, 但∑ (-1)n 收敛. ∑ n n =1 n n n =1 n =1
∞ n =1 n =1 ∞ n =1 ∞ ∞
( −1)n −1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯⋯ ∑
n= n =1
∞
n=1
0 n为偶数 Sn = 1 n为奇数
∞
n −1 ∴ S n有界, 但∑ ( −1) 发散. n =1
∞
负项相间的级数称为交错级数. 定义 正、负项相间的级数称为交错级数.
∞
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例： (-1)n ∑
n =1
∞ n
∞
1 绝对收敛 n2
1 ∑ (-1) n n =1
条件收敛
( −1) n −1 ( p > 0)的敛散性。 的敛散性。 例：判别级数∑ p n n =1
∞
解： p > 1时， | ( −1) ∑
n =1
∞
n −1
∞ 1 1 | = ∑ p 收敛， 此 时 , 原 级 数 绝 对 收 敛 . 收敛， np n =1 n
即数列{S2n }是单调增加的,
又S2 n = u1 − ( u2 − u3 ) − ⋯ − ( u2 n− 2 − u2 n−1 ) − u2 n ≤ u1
n =1
∴数列{ S2n} 是有界的,∴ lim S2 n = s ≤ u1 . n →∞
∵ lim u2 n+1 = 0,
n→ ∞
∴ lim S 2 n+1 = lim( S 2 n + u2 n +1 ) = s , n →∞ n →∞
∞
1 ∴∑ 发散 . n = 2 ln n 1 1 又 ∵ un = > = un +1 ln n ln( n + 1) ( −1)n ∴∑ 条件收 敛 . n = 2 ln n
∞
∞
1 lim =0 n →∞ ln n
四、任意项级数的判别方法
| un+1 | 定理： 定理： ∑ un为任意项级数， lim 若 = r,则 设 n→ ∞ | u | n n =1
复习
正项级数判别法： 正项级数判别法： （1） lim un ）
n→ ∞
= 0?
的阶乘） （2）比值判别法（含n的阶乘） 不用比较对象 ）比值判别法（ 的阶乘 或根式判别法（通项中含有n次幂 次幂） 或根式判别法（通项中含有 次幂） （3）比较判别法极限形式 含对数函数时 ）比较判别法极限形式(含对数函数时 经常采用比较法) 经常采用比较法 （4）比较判别法 需要敛散性已知的比较对象 ）
例 判别级数 ∑ ( −1)
n =1 ∞ n −1
( n + 1 − n)
1 ∑n n =1
∞
的收敛性. 的收敛性.
解 （1）un = n + 1 − n = ）
1 1 > n+ 2 + n+1 n+1 + n
= n + 2 − n + 1 = un + 1
∴ un > un+1 ,
1 （2） lim un = lim( n + 1 − n ) = lim ） = 0. n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞ n+1 + n
un +1 lim =r n→ ∞ u n
r < 1, 则∑ un收敛 r > 1, 则∑ un发散 r = 1, 方法失效
根式判别法： （不需要比较对象） 不需要比较对象） 根式判别法：
lim n un = r
n→ ∞
r < 1, 则∑ un收敛 r > 1, 则∑ un发散 r = 1, 方法失效
原级数收敛. 原级数收敛
例 判别级数 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 2n + 1 的敛散性.
1 n = ≠ 0 原级数发散 lim un = lim 原级数发散. 发散 解 n→ ∞ n → ∞ 2n + 1 2
注：对于交错级数 ∑(−1)nun , 若lim un ≠ 0, 则一定发散. 则一定发散.
( x ≥ 2)
1 故函数 单 调 递 减 , ∴ un > un+1 ( n ≥ 2), x − ln x
1 1 (2) lim un = lim =0 = lim n →∞ n →∞ n − ln n x →+∞ x − ln x ln x 1 − ln x 1− − ln x x x2 = lim ∵ lim ( x − ln x ) = xlim x 1 − = xlim x →+∞ →+∞ 1 →+∞ 1 x →+∞ x − 2 x x = lim ( 1 − ln x ) = ∞ ∴ lim un = 0 原级数收敛 原级数收敛.
1 1 p − 级数: ∑ p 、 n=1 n
∞ n
∞
当p > 1时, 收敛 当p ≤ 1时, 发散
当q < 1时, 收敛 2、 aq 敛散性 ∑ 当q ≥ 1时, 发散 n=0 ∞ 1 3、调和级数∑ 发散 . n=1 n
比值判别法： 不需要比较对象） 比值判别法： （不需要比较对象）
∞
(1)当r < 1时， un 收 敛 , ∑
(2)当r > 1时， un 发散, ∑
n =1
n =1 ∞
∞
∑u 绝对收敛。
∞
∑u 发散。
n=1 n
n=1 ∞
n
(3)当r = 1时，判别法失效。 判别法失效。
§7.3 任意项级数敛散性的判别
• 一、交错级数 • 二、莱布尼兹判别法 • 三、绝对收敛、条件收敛 绝对收敛、
一、任意项级数、交错级数的定义 任意项级数、
正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 任意项级数. 定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
若∑ un是正项级数, 则∑ un收敛 ⇔ 其部分和数列Sn有界. 若∑ un是任意项级数, 则 un收敛 ⇔ 其部分和数列Sn有界.？ ∑
∑vn收敛，则 un收敛 收敛， ∑ 非极限形式： 非极限形式：un ≤ cvn , 则∑un发散，则 vn发散 发散， ∑ 比较判别法： 比较判别法： 极限形式： 极限形式： 0 < r < ∞,同敛散 un 收敛， ∑ 给定 vn , 若lim = r r = 0, ∑vn收敛，则 un收敛 ∑ n→∞ v n r = ∞, v 发散，则 u 发散 ∑ n发散， ∑ n
x →+∞
n →∞
三、绝对收敛和条件收敛
收敛, 收敛. 定理 若∑ un 收敛 则∑un 收敛 , .
n=1 n=1 ∞ ∞
证明： − | un |≤ un ≤| un | ⇒ 0 ≤ un + | un |≤ 2 | un |
⇒ ∑ ( un + | un |)是正项级数, 且∑ | un |是收敛级数.
有 对 于 收 敛 的 任 意 项 级 数 ∑ un 来 说 ， 些 ∑ | un |收 敛 ，
而有些∑ | un |发散。
∞
∞
∞
n =1
n =1
1 收敛， 例： (-1)n 2 收敛， ∑ n n =1
1 (-1) 收敛， 收敛， ∑ n n =1
n ∞
∞
n =1
∞ 1 1 (-1)n 2 = ∑ 2 收敛. ∑ n n =1 n =1 n
( −1) n−1 un = u1 − u2 + u3 − u4 + ⋯ (其中un > 0) ∑
n =1
( −1) n un = − u1 + u2 − u3 + u4 + ⋯ ∑
n =1
∞
二、莱布尼兹判别法（交错级数） 莱布尼兹判别法（交错级数）
莱布尼兹判别法 若交错级数∑ ( −1)n −1un满足 :
( −1) n 的收敛性. 例 判别级数 ∑ n − ln n 的收敛性. n= 2
∞
考察函数 解 (1)考察函数 f ( x ) =
1 1− 1− x 1 x = ∵( )′ = − 2 < 0 2 x − ln x x ( x − ln x ) ( x − ln x )
1 的单调性。 的单调性。 x − ln x
n→∞
∵ lim un ≠ 0 ⇒ lim( −1) u2 n ≠ 0 ⇒ lim( −1)n un ≠ 0 ⇒∑ ( −1)n−1un发散. n →∞
2n n →∞
∞
∞
n →∞
n =1
例
( −1)n−1 ln n 的收敛性. 判别级数 ∑ 的收敛性. n n =1
解 un = f ( n) =
1 − ln x ln n (1) ∵ f ' ( x ) = < 0, ( x ≥ 3) 故当n ≥ 3, { }单调递减 , 2 x n
ln n ln x 1 ( 2) lim = lim = lim = 0. 原级数收敛 原级数收敛. x → +∞ x x → +∞ x n→ ∞ n
ln n ln x , 考察函数 f ( x ) = 的单调性。 的单调性。 n x
注：对于交错级数 ∑ ( −1)n−1 un = ∑ ( −1)n−1 f ( n), 当 lim un
x 的单调性。 的单调性。 考察函数 解 (1)考察函数 f ( x ) = x −1 x (1 x ) ∵( )′ = − + 2 < 0 ( x ≥ 2) x −1 2 x ( x − 1)
∞
x 单调递减 , ∴ un > un +1 ( n ≥ 2), x −1 n = 0. 原级数收敛 ( 2) lim un = lim 原级数收敛. n→ ∞ n→ ∞ n − 1 故函数
∞
定义 若 ∑ un 收敛,则称 ∑ un 为绝对收敛; 收敛, 绝对收敛;
n =1
∞
∞
1 ∞ 1 ∑ (-1) n =∑ n发散。 n =1 n =1
n
∞
∞
发散, 收敛, 若 ∑ un 发散,而 ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为条件收敛. 条件收敛.
n =1 n =1
∞
n=1
∞
∑ ∑u 绝对收敛⇒∑| u | 收敛， u 收敛
p ≤ 1时， | ( −1) ∑
n =1
∞
n −1
∞ 1 1 | = ∑ p 发散， 发散， p n n =1 n
又 ∵ un =
1 1 1 , lim un = lim p = 0 , > un+1 = n →∞ n np ( n + 1) p n→∞
∴ 原级数条件收敛.
1 ∑ np n=1
∞
当p > 1时, 收敛 当p ≤ 1时, 发散
∞
(1) u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥⋯≥ un ≥ un+1 ≥⋯ (2) lim un = 0 n →∞
则∑ ( −1)n −1un收敛,且它的和s ≤ u1 .
∞
n =1
证 ∵ un−1 − un ≥ 0, ∴ S2 n = ( u1 − u2 ) + ( u3 − u4 ) + ⋯ + ( u2 n−1 − u2 n )
n=1 ∞ n
n=1
∞
∞
∞
n =1
∞
n
n=1
n
发散， ∑ ∑u 条件收敛⇒∑ u 发散， u 收敛
n=1 n
n=1 n n=1 n
∞
∑ ∑u 绝对收敛⇒∑| u | 收敛， u 收敛
n=1 ∞ n
n=1
∞
∞
∞
∞
n
n=1
n
发散， ∑ ∑u 条件收敛⇒ ∑ u 发散， u 收敛
n=1 n
n=1 n n=1 n
∑(−1)
n=1
∞
n−1
1 np
时 当p > 1 , 绝对收敛 时 当p ≤ 1 , 条件收敛
( −1)n 的敛 散性. 例：判别级数∑ n = 2 ln n
∞
解： ∑
n= 2
∞
∞ ( −1)n 1 1 1 =∑ ∵ > ln n ln n n n = 2 ln n
1 且 ∑ 发散 , n= 2 n
∴ 级数收敛于和 s , 且 s ≤ u1 .
例
( −1)n 判别级数 ∑ n n =1
∞
的收敛性. 的收敛性.
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
un
1 1 解 （1）un = , , ∴ un > un+1 , > ） n n n+1
1
1 （2） lim un = lim = 0. 所以原级数收敛 ） 所以原级数收敛 原级数收敛. n→ ∞ n→ ∞ n
n→ ∞
不容易求解时，可转换为函数极限问题； 不容易求解时，可转换为函数极限问题； 当 un 的单调性不好判断时，可借助函数 的单调性不好判断时，可借助函数f(x)的单调性 的单调性 进行判断， 求导。 对f(n)进行判断，不可以直接对 进行判断 不可以直接对f(n) 求导。
( −1) n n 的收敛性. 例 判别级数 ∑ 的收敛性. n−1 n= 2