弹塑性力学第三章汇总

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§3-1 位移和（工程）应变
1.1位移
x3
P
P
u
P’
or
x2
x1
变形体任意点P的位移矢量 u uiei
u 有三个分量。
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§3-1 位移和（工程）应变
1.2 (工程)应变
工程应变是通常工程中描述物体局部几何 变化，分为正应变和剪应变。
，l （角变形）＝两微元线段
Baidu NhomakorabeaQ''Q'
du
dr
'
dr
——相对位移矢量
x3
dr
Q
u+du
P
P
u
r
o
x2
x1
Q’’ Q’
P’
P’
dr
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§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
u u e
du
ei
ii
ui x j
dx j
——（ a）
而
r x jej
dr dx je j
dx j e j dr ——(b)
22dx2
P x1
x2
23
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§3-2 应变张量和转动张量
应变张量和转动张量是描述一点变形 和刚体转动的两个非常重要的物理量，本 节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨 论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量.
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§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
PQ 平移 P'Q'' 伸长＋转动 P'Q'
将（b）式代入（a）式，得
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§3-2 应变张量和转动张量
du ui, jeiej dr
根据商法则 du U dr
令
U ui, jeie j Uijeie j
为一个二阶张量——相对位移张量
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§3-2 应变张量和转动张量
2.2 应变张量和转动张量
相对位移张量 ui,j 包含了变形和刚体转动， 为了将两者分开，对 ui,j 进行整理，张量分成 对称和反对称张量之和。
于为一由个，纯沿其刚大x体3小轴转方动3向: 可的见转，动矢12=量-231e，3，正方好向相当e3
3
1 2
(12
21 )
1 2
(e12312
e213 21 )
类似可得，其它两2e个2 坐标平面转1e1动矢量，
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§3-2 应变张量和转动张量
综合三个坐标面的转动矢量 ：
kek
第三章 应变分析
§3-1 位移和（工程）应变 §3-2 应变张量和转动张量 §3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式 §3-4 主应变、主应变方向、应变张量
的三个不变量
§3-5 变形协调条件（相容条件）
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§3-1 位移和（工程）应变
在第二章我们研究了应力张量本身和 体力、面力之间的关系式，即平衡规律。 本章将讨论变形体研究的另一个基本关系： 变形与位移之间的关系。当然要以小变形 假设为基础，位移和形变相对于变形体几 何尺寸是微小的。
——体积应变
Ⅱ＝1 2 23 31
Ⅲ 1 23
当 1 2 3 时（三个主应变不相等）， 三个主方向相互垂直。
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
在本章第二节中我们讨论了一点的应变 张量，它包含了一点的变形信息，应变张量
与位移微分关系称为几何方程（共六个）。 u 如果已知变形体的位移 状态， 则由这六
而 ij 表示变形体的形变，ij 表示了刚体转动。
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§3-2 应变张量和转动张量
以在平面x1 —x2的两个垂直线段PQ、PR 的相对位移来说明并直观看一下ij，ij二阶张
量表示了形变和刚体转动。
x2
R
dx2=1
P
Q
dx1=1
x1
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§3-2 应变张量和转动张量
1
1
Uij ui, j 2 (ui, j u j,i ) 2 (ui, j u j,i )
或 Uij ui, j ij ij
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§3-2 应变张量和转动张量
其中
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
ij
1 2
(ui, j
u j,i )
ij = ji（对称张量）， ij = -ji （反对称张量）
(+)/2
+
x1
12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /2 11=u1 ,1
x2
21=(u2 ,1 -u1 ,2 ) /2
12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /2
x1
11，12= 21，22 纯变形 12= -21 纯转动
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§3-2 应变张量和转动张量
2.3 转动张量的对偶矢量
1 2
eijkijek
为转动张量的对偶矢量。
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§3-2 应变张量和转动张量
比较工程应变定义和应变张量，可得：
11 12 13 11 212 213
21
22
23
2
21
22
2
23
31 32 33 2 31 2 32 33
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§3-3 应变张量和转动张量的坐 标变换式
确定一点的主应变和应变主方向方法与 求主应力和应力主方向的方法完全一致，求 主应变的方程
3 Ⅰ 2 Ⅱ Ⅲ 0
解出1、2、3 （实根）
、Ⅱ、Ⅲ
分别为应变张量的三个不变量。
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§3-4 主应变、应变方向应变张量的三个不 变量
Ⅰ＝11 22 33 1 2 3 e
夹角的l 改变量。
（工程）正应变：11、22、33 ， （工程）剪应变：12=xy、23=yz、31=zx
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§3-1 位移和（工程）应变
工程应变共有六个分量：
三个正应变，正应变以伸长为正，
三个剪应变，剪应变以使直角变小为正。
x3
dx1
dx2
x3
dx3 P
x1
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x2
x2 R
dx2=1
x2 u2 ,1 u2 ,2 R’’ R’
u1,1 u1,2 u2,1 u2,2
dx2=1
相对位移
Q’
P’
Q’’
u1 ,2 x1
dx1=1 u1 ,1
Q P dx1=1
x1
u1、u2
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§3-2 应变张量和转动张量
x2
22=u2 ,2 21= (u2 ,1 +u1 ,2 )/ 2
在 xk 坐标系中，已知变形体内任一点应 变张量 kl 和转动张量 kl ，则在新笛卡尔坐 标系x’i中此点应变张量’ij和 ’ij 均可以通
过二阶张量的坐标转换式求出它们。
即：
' ij
QQi'ki'kQei'
j'l kl
ek
i'j
Qki'
Q
i'kQ
j'l kl
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§3-4主应变、应变方向应变张量的三 个不变量