可逆矩阵习题

(B)CBA=E;
(C)BAC=E;
(D)BCA=E.
解 因为ABC=E， 所以|A||B||C|=1可知A、B、C均可逆，
于是BC=A-1,两边右乘A， 便得BCA=A-1A= E,故选(D).
1.已知A3 E,则A1 A2
5 2 0 0
2设A 2 1 0
0
,则 A
0 1 0 1/ 8 3 / 8 0
0 0 2 0
0 1
1 0 0 1/ 4 1/ 4 0
0 1 0 1/ 8 3 / 8
0

0 0 1 0
0 1/ 2
0 2 0
A 1 1
0

0 0 2
3、逆矩阵应用:______解矩阵方程 P72 例 设矩阵A、B满足A*BA=2BA－4E，其中
第三章 可逆矩阵
正确理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的 性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，
理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求 逆矩阵。
正确理解矩阵的秩的概念，熟练掌握用 初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
必须会解矩阵方程。
求逆阵的方法 (1)定义(公式)法 (2)伴随矩阵法 (3)初等变换法
(3). 设A为三阶矩阵, 且 A 1, 2A1 3A 125
(4). 设A为n阶方阵, A为其伴随矩阵, A 1 ,则 3
1 A1 15A 4
1n 3
P72:4 设n阶矩阵 A的伴随矩阵为A* ，证明：
1 若 A 0,则 A 0;
秩：矩阵非零子式的最高阶数. 零矩阵的秩为零.
R(A)=R(AT)
若B可逆，则R(AB)=R(A).
性质
R(AB) ≥R(A)+R(B)-n
若AB = 0, 则R(A)+R(B) ≤n
关于秩的性质的应用
性质: 若AB O,则R(A) R(B) n
例.
设3阶方
阵A

O,
B

1 2
2 A A n1.
教材 P72:6 设A、 B都是n阶可逆的方阵，则
A* 0
2
0
B -1


(
).
解 由于
A* 2
0
0
B-1

(2)2n
A*
B-1
(2)2n
A n1 B 1 .
2:求逆矩阵
(1)定义(公式)法:
(5):设A、 B、 A +B 、A1 B1均为可逆矩阵， 则 ( A1 B1)1 为（ ）．

___A1

__
0 0 1 2
0 0 1
1

1 2 0
0
2 5 0 0

0 0
0 0
1/ 3 1/ 3
12//33
3.矩阵A

0 0
8
0 5 0
2 0 的 逆 矩 阵A1 0
0 0 1/ 2
0 1/ 5
解 1）在 2A1B B 4E的两边左乘A，得 2B AB 4AE
(A 2E)B 4A
A 2E B 43 A 0
所以A－2E可逆.
2) A 2B(B 4E)1 下面求B －4E 的逆．
B 4E
3 2 0 1 0 0
E

1
2
0
1

A=

2

,

1
求B.
解 由|A|≠0,所以A可逆，由A*BA=2BA－4E，
左乘A右乘A-1得－2 B－2 AB＝－4E，即(A+E)B=2E,故
2
1 1

B 2( A E)1 2
1



2


2

1
矩阵的秩
概念
k阶子式.
矩阵的逆的性质 (1) (A-1)-1 = A ; (2) (kA)-1 = k-1A-1 ; (3) (AB)-1 = B-1A-1; (4) (AT)-1 = (A-1)T .
伴随矩阵的性质 AA* = A*A = |A|E ;
方阵的行列式 (1) |AT| = |A|; (1) |kA| = kn|A| (3) |AB| = |A||B| ; (4) |A-1| = |A|-1 ; (5) |A*| = |A|n-1 .
0 1 0
0 0 2 0 0 1
1 2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0
0 8 0 1 3 0 0 1 0 1/ 8 3 / 8 0
0 0 2 0 0 1 0 0 2 0
0 1
1 0 0 1/ 4 1/ 4 0
0 3 1 1 0 4
3 4
5 t ,
且AB

O,则
3 5 3
t 4
例 设矩阵
1 1 2 2 1
A=

0 2
2 0
1 3
5 1
1 3
,
1 1 0 4 1
求R(A)及A的一个最高阶非零子式．
解 对矩阵A作初等行变换变成行阶梯型矩阵
1
A=

0
2
1
1 2 2 2 1 5
关于伴随矩阵 性质的应用:
AA* A*A A E
A1 1 A* ( A*)1 1 A
A
A
1 0 0
A
(1)设A 2 2 0, A*为A的伴随矩阵,则( A* )1 _1_0___
3 4 5
(2)设A为4阶数量矩阵, 且 A 16,则A _____ A1 __ A* ____
(A) A1 B1; (C) B (A B)1 A ;
(B)A+B;
(D) ( A B)1
解 由于
[B(A+B)-1A]-1=A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1
. 故选（C).
2(2) 设A、B、C均为n阶方阵，若ABC=E， 则下面结论正确的是（ ）．
(A)ACB=E;
0
1/ 8 0 0
4. 若n阶矩阵A满足方程A2 2A 3E 0,则
wenku.baidu.comA1
1 A 2E;
3
2、用初等变换求逆
P73 已知A、 B为三阶矩阵，且满足 1）试证A－2E可逆；
1 2 0 (2)若B 1 2 0,求矩阵A
0 0 2
2A1B B 4E