二阶微分方程解法

第六节二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程：方程

y'H；Py qy -0

称为二阶常系数齐次线性微分方程.其中p、q均为常数，

如果y i、y是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解.那么y=C1y1∙C2y2就是它的通解

我们看看.能否适当选取r使yw rx满足二阶常系数齐次线性微分方程.为此将y=e rx代入方程

y py qy=0

得

(r2Pr q)e rx=0 .

由此可见.只要r满足代数方程r2Pr q -0 .函数y=e rx就是微分方程的解，

特征方程：方程r2pr q -0叫做微分方程y…卩y'qy=0的特征方程，特征方程的两个根r i、r2可用公式

_p +±J p2 _4q

r

1,2 = 2

求出

特征方程的根与通解的关系：

(1) 特征方程有两个不相等的实根

的解

这是因为.

函数y i =e l^ix、

y e「i X

y2=e r2x是方程的解•又-e rx -e(ri -r2)x不是常数，y2 e2

因此方程的通解为

y =C i e rix C2e r2x.

(2) 特征方程有两个相等的实根r i=Γ2时•函数y i =e rix、y2 =xe rix是二阶常系数齐次线性微分

r i、—时.函数y1 =e"x、y2 =e r2χ是方程的两个线性无关

方程的两个线性无关的解

这是因为.y 1=e r ιx 是方程的解.又

(Xe rI X ) - P(Xe rlX ) ∙ q(xe l ^ιx ) = (2r 1 ∙ xr 12)e l ^ιx ∙ p(1 ■ xr 1)e rlx ■ qxe r ι = e l ^ιx (2r 1 亠 P)亠Xe rI X (r 12 亠 pr 1 亠q) =O

y

护

所以y 2 =xe r M 也是方程的解 且竺=空一

X 不是常数.

y 1

e r1x

因此方程的通解为

y =C I e r1X C 2xe r1x

⑶特征方程有一对共轭复根

r 1,2二〉L 时.函数以y=e c J)X 是微分方程的两个线性无

关的复数形式的解，函数y=e ：X CoS x > y w ：X Sin X 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y^e cJ )X 和y 2=e (H)X 都是方程的解.而由欧拉公式.得 y 1 =e (Cr fr *=eE(cos βx4isinPx). y 2=e (C ςi ^*=e c x (cosβx4sinPx).

y 1 4y 2=2e c x cosPx . e" cos Px=1

(y 1 +y 2).

2

y 1-y 2=2ie c x si nβ×.e c x sin βx=∖y 1-y 2),

2i

故e^cosPx 、y 2=e 0⅛nβ×也是方程解，

可以验证$1 =e"cos ：x 、y2=e "sin ：X 是方程的线性无关解，

因此方程的通解为

y=e c x (C 1cosβx 4C 2sinPx ), 求二阶常系数齐次线性微分方程 / p/ q^0的通解的步骤为：

第一步 写出微分方程的特征方程

2

r Pr q=0

第二步求出特征方程的两个根

「1、匕，

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况

.写出微分方程的通解.

例1求微分方程y …~2,∙3y=0的通解 解所给微分方程的特征方程为

2

r -2r-3=0 .即(r 1)(r-3^0 .

其根「1—1「2 =3是两个不相等的实根.因此所求通解为

yQef C 2e 3x .

例2求方程y=2y∙yp 满足初始条件y ∣x=o=4、y]χ=o=…2的特解

解所给方程的特征方程为

2 2

r 2r Go .即(r 1) =0 I

其根r12 “1是两个相等的实根.因此所给微分方程的通解为

y=(CιC2x)e-x I

将条件yh虫代入通解.得C i虫.从而

y-(4 C2x)e*,

将上式对X求导.得

y pC2W2x)e jx.

再把条件y]x z o=2代入上式.得C2=2 ,于是所求特解为

x=(4 2x)e,

例3求微分方程厂~2y'5y=0的通解

解所给方程的特征方程为

2 r -2r 5二0 I

特征方程的根为r i =1 2 .r2=l -2i .是一对共轭复根.

因此所求通解为

X

y=e (C I CoS2x C2sin2x).

n阶常系数齐次线性微分方程：方程

y(A)P I y(AJ)p2 y(2 亠亠P nJ y P n y =0 .

称为n阶常系数齐次线性微分方程.其中P1 . p2 . .p n^ P n都是常数.

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式.可推广到

n阶常系数齐次线性微分方程上去.

引入微分算子 D .及微分算子的n次多项式：

L(D)=D n P I D nJ P2 D n R . . -.'P n4D P n .

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

(D n P I D n' P2 D n^ 亠亠p n4D P n)y=0 或L(D)y=0 .

注:D叫做微分算子D0yτ.Dy-/. D2y弓D3y弓S …D n y弓(n\

分析：令y =e rx.则

rx Z n n-1 n-2 I I・rx rx

L(D)y=L(D)e =(r p1r p2 r 亠亠P nM r P n)e L(r)e .

因此如果r是多项式L(r)的根.则yw rx是微分方程L(D)y=0的解

n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程：

n丄n/丄n-2丄丄丄

L(r)=r p1r p2 r p n4r p∏=0

称为微分方程L(D) y=0的特征方程，

特征方程的根与通解中项的对应：

单实根r对应于一项:Ce rX

一对单复根rι 2 <■ i『-对应于两项：e-x(Cιcos F x Q2sin F x) •

k重实根r对应于k项:e rx(CιC2x C k X J) ■

一对k重复根rι2-L i!：:；对应于2k项

e"[(Cι亠C2X亠-C k X kJ)COS L X ( D i D2X亠-D k X kJ)Sin :x] I

例4求方程y⑷一2y…5y…=0的通解

解这里的特征方程为