工程力学-8扭转
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功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。
工 程 力 学
B
C
A
D
18
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
解：经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为：
工 程 力 学
PA 10 mA 9550 9550 318.3N m n 300 PB 2 mB 9550 9550 63.7N m n 300 mC 95.5N m, M D 159.2N m
13
工 程 力 学
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
例 2 ： 已 知 ： 转 轴 转 速 n=955r/min 。 输 入 功 率 PB =100kW，输出功率PA=40kW， PC =60kW。 试求：各段轴的扭矩及扭矩图。
工 程 力 学
A MA
B
C MC
MB
PA 解： M A 9550 400 N.m n PB M B 9550 1000N.m n
由 M x 0：
T1 M A 0 T1 M A 400N.m
A MA T1 T2
MB
T2 M B 0 T2 M B 1000N.m
1000N.m
T
400N.m ㊉
★ 将主动轮装在两从动轮之间更 合理！
0
x
17
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
例4： 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出
（2）的剪切面相邻两侧平行错动
（6）的剪切面相邻两侧转动错动
可见扭转现象同剪切相关，与剪切应力相关。
23
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
薄壁圆筒扭转时的应力与应变
Me
Me g A D BC f
平均半径为 R0、 厚度为δ， 且δ« R0 。
工 程 力 学
受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变了一数量。物 体受力变形时，直角的这种改变量（以弧度计）称之为切应变。 由圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称性可知，圆筒表面同 一圆周线上各处的切应变均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设 条件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上各 点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应变发生在圆筒的切 向平面可知，是沿外圆周的切向。
T´= -Me
研究两个半段，得到的扭矩的 大小相等但方向相反。
9
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
为了使截面法在同一截面上所得的扭矩符号一致，规定： 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量 方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规 定为正值，反之为负值。 Me A Me 1 T
(+)
工 程 力 学
1
1
x
从x轴的正向看过去，呈 逆时针旋转。
T 1
(-)
A
x
10
§8. 扭转
扭矩与扭矩图 截开 在需求内力的截面处假想用截面将零件一分为二， 并取其中一部分作为研究对象。
工 程 力 学
求解步骤：
设正 T背离截面设为正扭矩。
平衡 绘图 根据研究对象的受力图建立平衡方程，求出截面 上的内力值。 以T为纵坐标，x为横坐标，绘出扭矩沿轴线的分 布图—扭矩图。
工 程 力 学
d A 2π d
I p 2 d A 2π 3 d A
20
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
B
C
A
D
x
工 程 力 学
T
扭矩图 （+）
159.2
x
（-）
63.7 159.2
Tmax 159.2N m
（在CA段和AD段）
21
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
工 程 力 学
• • • • • • • • • •
给你一个火腿肠，如何在中间截为两段？ （1）刀切开 （2）剪子剪 （3）电锯（轮或平）截 （4）掰（弯） （5）拉 （6）扭
全程本构关系如何？
要做纯剪切实验
工 （如薄壁圆管扭转）得到 g 图 程 其中 力 学 —— 剪切比例极限应力（线弹性阶段）
p
b s p
g
s —— 剪切屈服极限应力（进入塑性阶段）
b —— 剪切强度极限应力（破坏阶段）
31
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
工 程 力 学
32
§8. 扭转
PC M C 9550 600 N.m n
14
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
A MA 1 B 2 2 C MC
分别取1-1截面左段、 2-2截面右段研究
1 MB
A MA T1 MB B
工 程 力 学
由 M x 0：
T1 M A 0 T1 M A 400N.m
C T2
MC
横截面上一点处的切应力与 该点到圆心的半径成正比，圆 心处的切应力为零，在周边上 的切应力最大，且各点处的切 应力都垂直于半径。
T
max
o
34
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
T 通过分析扭矩与应力间的关系，得到： IP
最大切应力τmax的确定：
工 程 力 学
横截面上最大切应力——
工 程 力 学
主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305
§8. 扭转
一、扭转的工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
工 程 力 学
Me
主动力偶
阻抗力偶
2
§8. 扭转
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
方向盘连杆
工 程 力 学
3
§8. 扭转
3、机器中的传动轴工作时受扭。
工 程 力 学
4
§8. 扭转
二、扭转的概念 主要发生扭转变形的杆称为：轴。
A C B MC
MA
MB
解：
M A 9550
PA P 400 N.m M B 9550 B 1000 N.m n n
PC M C 9550 600 N.m n
16
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
A MA 1 1 C MC 2 B
2
B
MB
工 程 力 学
分别取1-1截面左段、 2-2截面右段研究
max
TR T I P WP
IP
WP
极惯矩
IP 扭转截面系数 R
整个圆轴上——等直杆：
max
T max WP
公式的使用条件： 1、等直圆轴，
2、弹性范围内工作。
35
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于直径为 D的实心圆截面
工 程 力 学
2
上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在假设它 们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。当d /R0=10％ ，其
误差为4.5％。
厚壁园筒 、实心圆柱如何处理？
27
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时，横截面保持平面，绕轴线发生刚性转动。 平截面假设： 横截面之间发生了旋转式的相对错动，即发生了剪切变形，故横截 面上有切应力;又因半径的长度不变，切应力的方向必垂直于半径。
工 程 力 学
d/dx—横截面转角沿轴线变化率.
g
ρ
d dx
r
g
d dx
ρ为该点到圆心的距离。
29
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
在弹性范围内:
G
d dx
剪切胡克定律
工 程 力 学
Gg
剪切弹性模量
ρ为该点到圆心的距离。
g
30
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
11
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
例1：已知长为l的轴上作用一10kN· m的外力偶，试画出该 轴的扭矩图。 10kN· m 1
工 程 力 学
o
1
x
T
解：利用截面法，在位置1-1处 作截面。 由平衡方程 M x 0：
T 10 0
T 10kN m
T
O
（ -）
l
x
负扭矩。wk.baidu.com
12
Me
1 1
T 1
x
B
A
利用力偶矩在x轴上投影之和为0得到：
M
x
0, M e T 0
T=Me
8
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
Me A Me A
1 1 1 T 1
x T´
Me B 1 1 B Me x
工 程 力 学
利用力偶矩在x轴上投影之和为0得到：
M
x
0, M e T ' 0
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
注意
我们所谓的内力的正负是根据内力的矢量方向与构 件截面的外法线方向作比较得到的。 在列平衡方程ΣMx=0时，方程中各个力偶矩的符 号是力偶矩矢量在x轴上的投影决定的。 另一种方法： 从x轴的正向看过去，各个力偶矩仅有两个转向，逆 时针或顺时针。也可以把平衡方程写成： 逆时针力偶矩=顺时针力偶矩。
圆轴扭转时的应力
T d A
A
工 程 力 学
df Gg G ( ) dx
df 2 T G dA A dx
Ip
极惯矩
df T d x GIp
T Ip
33
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
横截面上切应力分布规律：
工 程 力 学
扭时，横截面上的切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。
即如图中所示。
25
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
薄壁圆筒扭转时的应力与应变 切应力的计算
知道了切应力 的分布规律后 ，便可 以利用静力学关系
工 程 力 学
T d A
A
—— 切向力相对圆心的力臂,可用平均半径R0代替
B I
C II
A
D III
I
II
III
19
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
B
C II
A
I
I
mB
II I
D
x
工 程 力 学
II
III
I
T1
T1 M B 63.7N m
III II
I
mB
T3
T2
MC
II
III
MD
T2 M B M C 159.2N m
T3 M D 159.2N m
则
从而有
T R0 d A R0 A
A
T /( R0 A)
T /( R0 2 π R0 d ) T /(2 π R0 d )
2
26
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
薄壁圆筒扭转时的应力与应变 切应力的计算
工 程 力 学
T /(2 π R0 d )
d A 2π d
dρ
d 2 0 2
I p d A (2 π d ) A
2
ρ
d
2π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
πd 3 Wp d / 2 16
36
Ip
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面
具体分析：
（1）、（3）是动载，因研究静载，故不讲了 （4）属于弯曲，以后讲 （5）拉断的位置不确定，也不讲 （6）断开面两侧相互错动，实际上沿面内有力作用 —— 剪力：扭矩转化过来
22
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
具体分析：
工 程 力 学
（2、用剪子剪）与（6、扭）的共同点 —— 剪力作用 （2、用剪子剪）与（6、扭）的不同点 ——
工 程 力 学
由于相邻截面之间的距离不变，所以横截面上没有正应力。
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
28
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力 在直圆轴上取一相距dx的微段，两截面的相对扭转角记为d，圆 轴表面处原来与圆周线正交的纵线倾斜的角度记为。
工 程 力 学
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
Me
主动力偶
阻抗力偶
5
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
圆轴扭转时的应力
工 程 力 学
圆轴扭转时的变形
圆轴扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转时的破坏 圆轴扭转时的应变能 非圆截面杆的自由扭转
T2 M C 0 T2 M C 600N.m
T
400N.m
㊉
0
㊀
x
600N.m
15
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
例 3 ：已知：转轴转速 n=955r/min 。输入功率 PB=100kW ， 输出功率PA=40kW， PC =60kW。
工 程 力 学
试求：各段轴的扭矩及扭矩图。
6
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
工 程 力 学
功率P（ k W）与力偶矩M（转矩）关系： P 2πn M 9550 P 1000 M M n 60
n—机器转速（转/分）
P 或 M 9549 n
7
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩。
工 程 力 学
扭矩大小可利用截面法来确定。 Me 1 Me A
24
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
薄壁圆筒扭转时的应力与应变 切应力与切应变
工 程 力 学
(1) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；
(2) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；
(3) 薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的切线。 对于薄壁圆筒（d 很小），横截面上其它各点处的切应力可以 认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可以认为薄壁圆筒受
工 程 力 学
B
C
A
D
18
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
解：经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为：
工 程 力 学
PA 10 mA 9550 9550 318.3N m n 300 PB 2 mB 9550 9550 63.7N m n 300 mC 95.5N m, M D 159.2N m
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工 程 力 学
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
例 2 ： 已 知 ： 转 轴 转 速 n=955r/min 。 输 入 功 率 PB =100kW，输出功率PA=40kW， PC =60kW。 试求：各段轴的扭矩及扭矩图。
工 程 力 学
A MA
B
C MC
MB
PA 解： M A 9550 400 N.m n PB M B 9550 1000N.m n
由 M x 0：
T1 M A 0 T1 M A 400N.m
A MA T1 T2
MB
T2 M B 0 T2 M B 1000N.m
1000N.m
T
400N.m ㊉
★ 将主动轮装在两从动轮之间更 合理！
0
x
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§8. 扭转
扭矩与扭矩图
例4： 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出
（2）的剪切面相邻两侧平行错动
（6）的剪切面相邻两侧转动错动
可见扭转现象同剪切相关，与剪切应力相关。
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§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
薄壁圆筒扭转时的应力与应变
Me
Me g A D BC f
平均半径为 R0、 厚度为δ， 且δ« R0 。
工 程 力 学
受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变了一数量。物 体受力变形时，直角的这种改变量（以弧度计）称之为切应变。 由圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称性可知，圆筒表面同 一圆周线上各处的切应变均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设 条件下，圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外圆周上各 点处必相等；至于此切应力的方向，从相应的切应变发生在圆筒的切 向平面可知，是沿外圆周的切向。
T´= -Me
研究两个半段，得到的扭矩的 大小相等但方向相反。
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§8. 扭转
扭矩与扭矩图
为了使截面法在同一截面上所得的扭矩符号一致，规定： 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量 方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规 定为正值，反之为负值。 Me A Me 1 T
(+)
工 程 力 学
1
1
x
从x轴的正向看过去，呈 逆时针旋转。
T 1
(-)
A
x
10
§8. 扭转
扭矩与扭矩图 截开 在需求内力的截面处假想用截面将零件一分为二， 并取其中一部分作为研究对象。
工 程 力 学
求解步骤：
设正 T背离截面设为正扭矩。
平衡 绘图 根据研究对象的受力图建立平衡方程，求出截面 上的内力值。 以T为纵坐标，x为横坐标，绘出扭矩沿轴线的分 布图—扭矩图。
工 程 力 学
d A 2π d
I p 2 d A 2π 3 d A
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§8. 扭转
扭矩与扭矩图
B
C
A
D
x
工 程 力 学
T
扭矩图 （+）
159.2
x
（-）
63.7 159.2
Tmax 159.2N m
（在CA段和AD段）
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§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
工 程 力 学
• • • • • • • • • •
给你一个火腿肠，如何在中间截为两段？ （1）刀切开 （2）剪子剪 （3）电锯（轮或平）截 （4）掰（弯） （5）拉 （6）扭
全程本构关系如何？
要做纯剪切实验
工 （如薄壁圆管扭转）得到 g 图 程 其中 力 学 —— 剪切比例极限应力（线弹性阶段）
p
b s p
g
s —— 剪切屈服极限应力（进入塑性阶段）
b —— 剪切强度极限应力（破坏阶段）
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§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
工 程 力 学
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§8. 扭转
PC M C 9550 600 N.m n
14
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
A MA 1 B 2 2 C MC
分别取1-1截面左段、 2-2截面右段研究
1 MB
A MA T1 MB B
工 程 力 学
由 M x 0：
T1 M A 0 T1 M A 400N.m
C T2
MC
横截面上一点处的切应力与 该点到圆心的半径成正比，圆 心处的切应力为零，在周边上 的切应力最大，且各点处的切 应力都垂直于半径。
T
max
o
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§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
T 通过分析扭矩与应力间的关系，得到： IP
最大切应力τmax的确定：
工 程 力 学
横截面上最大切应力——
工 程 力 学
主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305
§8. 扭转
一、扭转的工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
工 程 力 学
Me
主动力偶
阻抗力偶
2
§8. 扭转
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
方向盘连杆
工 程 力 学
3
§8. 扭转
3、机器中的传动轴工作时受扭。
工 程 力 学
4
§8. 扭转
二、扭转的概念 主要发生扭转变形的杆称为：轴。
A C B MC
MA
MB
解：
M A 9550
PA P 400 N.m M B 9550 B 1000 N.m n n
PC M C 9550 600 N.m n
16
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
A MA 1 1 C MC 2 B
2
B
MB
工 程 力 学
分别取1-1截面左段、 2-2截面右段研究
max
TR T I P WP
IP
WP
极惯矩
IP 扭转截面系数 R
整个圆轴上——等直杆：
max
T max WP
公式的使用条件： 1、等直圆轴，
2、弹性范围内工作。
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§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于直径为 D的实心圆截面
工 程 力 学
2
上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在假设它 们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。当d /R0=10％ ，其
误差为4.5％。
厚壁园筒 、实心圆柱如何处理？
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§8. 扭转
圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时，横截面保持平面，绕轴线发生刚性转动。 平截面假设： 横截面之间发生了旋转式的相对错动，即发生了剪切变形，故横截 面上有切应力;又因半径的长度不变，切应力的方向必垂直于半径。
工 程 力 学
d/dx—横截面转角沿轴线变化率.
g
ρ
d dx
r
g
d dx
ρ为该点到圆心的距离。
29
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
在弹性范围内:
G
d dx
剪切胡克定律
工 程 力 学
Gg
剪切弹性模量
ρ为该点到圆心的距离。
g
30
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
11
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
例1：已知长为l的轴上作用一10kN· m的外力偶，试画出该 轴的扭矩图。 10kN· m 1
工 程 力 学
o
1
x
T
解：利用截面法，在位置1-1处 作截面。 由平衡方程 M x 0：
T 10 0
T 10kN m
T
O
（ -）
l
x
负扭矩。wk.baidu.com
12
Me
1 1
T 1
x
B
A
利用力偶矩在x轴上投影之和为0得到：
M
x
0, M e T 0
T=Me
8
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
Me A Me A
1 1 1 T 1
x T´
Me B 1 1 B Me x
工 程 力 学
利用力偶矩在x轴上投影之和为0得到：
M
x
0, M e T ' 0
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
注意
我们所谓的内力的正负是根据内力的矢量方向与构 件截面的外法线方向作比较得到的。 在列平衡方程ΣMx=0时，方程中各个力偶矩的符 号是力偶矩矢量在x轴上的投影决定的。 另一种方法： 从x轴的正向看过去，各个力偶矩仅有两个转向，逆 时针或顺时针。也可以把平衡方程写成： 逆时针力偶矩=顺时针力偶矩。
圆轴扭转时的应力
T d A
A
工 程 力 学
df Gg G ( ) dx
df 2 T G dA A dx
Ip
极惯矩
df T d x GIp
T Ip
33
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
横截面上切应力分布规律：
工 程 力 学
扭时，横截面上的切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。
即如图中所示。
25
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
薄壁圆筒扭转时的应力与应变 切应力的计算
知道了切应力 的分布规律后 ，便可 以利用静力学关系
工 程 力 学
T d A
A
—— 切向力相对圆心的力臂,可用平均半径R0代替
B I
C II
A
D III
I
II
III
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§8. 扭转
扭矩与扭矩图
B
C II
A
I
I
mB
II I
D
x
工 程 力 学
II
III
I
T1
T1 M B 63.7N m
III II
I
mB
T3
T2
MC
II
III
MD
T2 M B M C 159.2N m
T3 M D 159.2N m
则
从而有
T R0 d A R0 A
A
T /( R0 A)
T /( R0 2 π R0 d ) T /(2 π R0 d )
2
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§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
薄壁圆筒扭转时的应力与应变 切应力的计算
工 程 力 学
T /(2 π R0 d )
d A 2π d
dρ
d 2 0 2
I p d A (2 π d ) A
2
ρ
d
2π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
πd 3 Wp d / 2 16
36
Ip
§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
截面的极惯性矩与扭转截面系数
对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面
具体分析：
（1）、（3）是动载，因研究静载，故不讲了 （4）属于弯曲，以后讲 （5）拉断的位置不确定，也不讲 （6）断开面两侧相互错动，实际上沿面内有力作用 —— 剪力：扭矩转化过来
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§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
具体分析：
工 程 力 学
（2、用剪子剪）与（6、扭）的共同点 —— 剪力作用 （2、用剪子剪）与（6、扭）的不同点 ——
工 程 力 学
由于相邻截面之间的距离不变，所以横截面上没有正应力。
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
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§8. 扭转
圆轴扭转时的应力 在直圆轴上取一相距dx的微段，两截面的相对扭转角记为d，圆 轴表面处原来与圆周线正交的纵线倾斜的角度记为。
工 程 力 学
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
Me
主动力偶
阻抗力偶
5
§8. 扭转
扭矩与扭矩图
圆轴扭转时的应力
工 程 力 学
圆轴扭转时的变形
圆轴扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转时的破坏 圆轴扭转时的应变能 非圆截面杆的自由扭转
T2 M C 0 T2 M C 600N.m
T
400N.m
㊉
0
㊀
x
600N.m
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§8. 扭转
扭矩与扭矩图
例 3 ：已知：转轴转速 n=955r/min 。输入功率 PB=100kW ， 输出功率PA=40kW， PC =60kW。
工 程 力 学
试求：各段轴的扭矩及扭矩图。
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§8. 扭转
扭矩与扭矩图
工 程 力 学
功率P（ k W）与力偶矩M（转矩）关系： P 2πn M 9550 P 1000 M M n 60
n—机器转速（转/分）
P 或 M 9549 n
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§8. 扭转
扭矩与扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩。
工 程 力 学
扭矩大小可利用截面法来确定。 Me 1 Me A
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§8. 扭转
圆轴扭转时的应力
薄壁圆筒扭转时的应力与应变 切应力与切应变
工 程 力 学
(1) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同；
(2) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等；
(3) 薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的切线。 对于薄壁圆筒（d 很小），横截面上其它各点处的切应力可以 认为与外圆周处相同，即不沿径向变化。于是可以认为薄壁圆筒受