2021届吉林省延边州高三下学期4月教学质量检测数学(理)试题
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【最新】吉林省延边州高三下学期4月教学质量检测数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A． B． C． D．
2．复数 的实部为 ，虚部为 ，则 （）
①曲线 恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）；
②曲线 上存在到原点的距离超过 的点；
③曲线 所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有错误结论的序号是______．
三、解答题
17．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）若 ，求边 的大小；
（2）若 且 ，求 的面积．
本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.
3．D
【分析】
利用两个向量平行、垂直的性质，以及向量的坐标运算，求得 的值，即可得到答案.
【详解】
A． B． C． D．
10．已知 ， 是双曲线 ， 的两个焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A． B． C． D．
11．三棱锥 内接于半径为2的球中， 平面 ， ， ，则三棱锥 的体积的最大值是（）
A． B． C． D．
12．已知函数 若方程f（x）=m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（ ）（x3+x4）=（ ）
A． B． C．2D．3
3．已知向量 ， ， ，满足 ， ，则 （）
A． B． C．9D．81
4．《九章算术．均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，上下人差均等，问各得几何．”其意思为“已知甲､乙､丙､丁､戊五人分10钱，甲､乙两人所得与丙､丁､戊三人所得相同，且甲､乙､丙､丁､戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
8．已知圆 ，若直线 上总存在点 ，使得过点 的圆 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是（）
A． 或 B．
C． 或 D．
9．【最新】5月，华人数学家张益唐教授发表论文《素数间的有界距离》，破解了“孪生素数猜想”这一世纪难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式．孪生素数就是指相差2的素数对，最小的6对孪生素数是 ， ， ， ， ， ．现从这6对孪生素数中取2对进行研究，则取出的4个素数的和大于100的概率为（）
（1）求 ， 的值；
（2）已知本次产蛋量近似服从 （其中 近似为样本平均数， 似为样本方差）．若本村约有10000只麻鸭，试估计产蛋量在110~120的麻鸭数量（以各组区间的中点值代表该组的取值）．
（3）若以正常产蛋90个为标准，大于90个认为是良种，小于90个认为是次种．根据统计得出两种培育方法的 列联表如下，请完成表格中的统计数据，并判断是否有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关．
（1）求曲线 ， 的极坐标方程；
（2）若射线 分别交 ， 于 ， 两点，求 的最大值．
23．设函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
由图象可知阴影部分对应的集合为 ，根据集合的运算，即可求解.
【详解】
由题意，全集 ，集合 ，集合 ，
可得 ，
所以 ，
由图象可得阴影部分表示的集合为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了集合基本概念及运算，其中解答中利用图象先确定集合关系是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
2．B
【分析】
利用复数的代数形式的乘除运算化简，求得 的值，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，复数 ，
所以 ，则 .
故选：B.
【点睛】
良种
次种
总计
旱养培育
160
260
水养培育
60
总计
340
500
附： ，则 ， ， ．
，其中 ．
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.Fra Baidu bibliotek24
6.635
7.879
10.828
20．已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）对任意的 ， 恒成立，请求出a的取值范围．
A． 钱B． 钱C． 钱D． 钱
5．要得到 的图象，只需将 的图象（）
A．向左平移 个单位长度B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
6．命题“对 ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
7．在正方体 中，点 ､ ､ 分别为棱 、 、 的中点，给出下列四个结论：① ；② 平面 ；③异面直线 ， 所成角的大小为 ；④ 平面 ．其中所有正确结论的序号为（）
18．已知 中， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点，将 沿 翻折，得到如图所示的四棱锥 ，且 ，设 为 的中点．
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的的正弦值．
19．某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是水养培育的品种．为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取500只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量（单位：个），制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产蛋量在 的频率为0.66．
21．已知椭圆 的右焦点 在圆 上，直线 交椭圆于 ， 两点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 （ 为坐标原点），求 的值；
（3）设点 关于 轴对称点为 （ 与点 不重合），且直线 与 轴交于点 ，试问 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
A．6B．7C．8D．9
二、填空题
13．在 的展开式中，含 的项的系数是______
14．在等比数列 中，若 ，则 ______
15．若函数 与 满足：存在实数 ，使得 ，则称函数 为 的“友导”函数．已知函数 为函数 的“友导”函数，则 的取值范围是______
16．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A． B． C． D．
2．复数 的实部为 ，虚部为 ，则 （）
①曲线 恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）；
②曲线 上存在到原点的距离超过 的点；
③曲线 所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有错误结论的序号是______．
三、解答题
17．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）若 ，求边 的大小；
（2）若 且 ，求 的面积．
本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.
3．D
【分析】
利用两个向量平行、垂直的性质，以及向量的坐标运算，求得 的值，即可得到答案.
【详解】
A． B． C． D．
10．已知 ， 是双曲线 ， 的两个焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A． B． C． D．
11．三棱锥 内接于半径为2的球中， 平面 ， ， ，则三棱锥 的体积的最大值是（）
A． B． C． D．
12．已知函数 若方程f（x）=m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（ ）（x3+x4）=（ ）
A． B． C．2D．3
3．已知向量 ， ， ，满足 ， ，则 （）
A． B． C．9D．81
4．《九章算术．均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，上下人差均等，问各得几何．”其意思为“已知甲､乙､丙､丁､戊五人分10钱，甲､乙两人所得与丙､丁､戊三人所得相同，且甲､乙､丙､丁､戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
8．已知圆 ，若直线 上总存在点 ，使得过点 的圆 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是（）
A． 或 B．
C． 或 D．
9．【最新】5月，华人数学家张益唐教授发表论文《素数间的有界距离》，破解了“孪生素数猜想”这一世纪难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式．孪生素数就是指相差2的素数对，最小的6对孪生素数是 ， ， ， ， ， ．现从这6对孪生素数中取2对进行研究，则取出的4个素数的和大于100的概率为（）
（1）求 ， 的值；
（2）已知本次产蛋量近似服从 （其中 近似为样本平均数， 似为样本方差）．若本村约有10000只麻鸭，试估计产蛋量在110~120的麻鸭数量（以各组区间的中点值代表该组的取值）．
（3）若以正常产蛋90个为标准，大于90个认为是良种，小于90个认为是次种．根据统计得出两种培育方法的 列联表如下，请完成表格中的统计数据，并判断是否有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关．
（1）求曲线 ， 的极坐标方程；
（2）若射线 分别交 ， 于 ， 两点，求 的最大值．
23．设函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
由图象可知阴影部分对应的集合为 ，根据集合的运算，即可求解.
【详解】
由题意，全集 ，集合 ，集合 ，
可得 ，
所以 ，
由图象可得阴影部分表示的集合为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了集合基本概念及运算，其中解答中利用图象先确定集合关系是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
2．B
【分析】
利用复数的代数形式的乘除运算化简，求得 的值，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，复数 ，
所以 ，则 .
故选：B.
【点睛】
良种
次种
总计
旱养培育
160
260
水养培育
60
总计
340
500
附： ，则 ， ， ．
，其中 ．
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.Fra Baidu bibliotek24
6.635
7.879
10.828
20．已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）对任意的 ， 恒成立，请求出a的取值范围．
A． 钱B． 钱C． 钱D． 钱
5．要得到 的图象，只需将 的图象（）
A．向左平移 个单位长度B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
6．命题“对 ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
7．在正方体 中，点 ､ ､ 分别为棱 、 、 的中点，给出下列四个结论：① ；② 平面 ；③异面直线 ， 所成角的大小为 ；④ 平面 ．其中所有正确结论的序号为（）
18．已知 中， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点，将 沿 翻折，得到如图所示的四棱锥 ，且 ，设 为 的中点．
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的的正弦值．
19．某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是水养培育的品种．为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取500只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量（单位：个），制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产蛋量在 的频率为0.66．
21．已知椭圆 的右焦点 在圆 上，直线 交椭圆于 ， 两点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 （ 为坐标原点），求 的值；
（3）设点 关于 轴对称点为 （ 与点 不重合），且直线 与 轴交于点 ，试问 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
A．6B．7C．8D．9
二、填空题
13．在 的展开式中，含 的项的系数是______
14．在等比数列 中，若 ，则 ______
15．若函数 与 满足：存在实数 ，使得 ，则称函数 为 的“友导”函数．已知函数 为函数 的“友导”函数，则 的取值范围是______
16．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：