随机变量函数的分布
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随机变量函数的分布
二 、连续型随机变量函数的分布 2.分布函数法 一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y); 20 由 fY(y) = F (y) 求出 fY (y)
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ， （－∞<x< +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单 调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随 机变量，且密度函数为
h y f[ h ( y )], y f y Y , 其他 0
计算离散型随机变量函数的分布的方法： 首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值
y g ( x )( i 1 ， 2 ， .) i i
如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …
如果 yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在
0 , y25 /4 F (y) * 25 /4y9 1, y9
F ( y ) P { Y y } P { X / 4 y }
2
P { X 4 y / }
4 y /
f ( x ) dx X
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
其中， m g ( in{ ), g ( )}, m g ( ax ), g ( )
注意 若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b] ( x ) 0 [ 或 g ( x ) 0 ]. 上有 g
随机变量函数的分布
此时，称Y服从自由度为1的χ2-分布。
变限函数求导公式:
b(x)
f
(t)dt
f b(x)b(x)
f a(x) a(x).
a(x)
例3：设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度.
1, 0 x 1, 解：因r.v.X~U(0,1),故X的概率密度为：fX (x) 0, 其它.
如图, fX (x)的非零段将整个 x轴分为三部分:
(-∞,0),[0,1),[1,+ ∞); 从而,整个y轴相应地也被分为三 部分: (-∞,1),[1,e),[e,+ ∞).
因此,应就y分为上述三个区 间来求Y的分布函数.
(1) 当y<1时,再分为两种情形:
a) 当y≤0时,
FY (y) PY y P eX y
P() 0;
b) 当0< y<1时,
fY
(
y)
1 y
,
1 y e,
0, 其它.
注意:本题是重要题型,必须熟练掌握。
方法2 公式法(y=g(x)为单调可导函数)
定理：设连续型随机变量X的概率密度为
f X (x)( x )
函数g(x)处处可导且有恒有 g(x) 0(g(x) 0)
则Y=g(X)是连续型随机变量，且其概率密度为
◆如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值的概 率为这些相等值对应的X取值的概率之和.
例如,当 yk g(xi ) g(x j ) g(xm ),
则由基本事件互斥性与概率可加性得：
PY yk P X xi P X xj P X xm
例1:设r.v.X的分布列为:
X
-1
012
P 0.2 0.3 0.1 0.4
§3.5 随机变量函数的分布
( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数 且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明 由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布 一、一般方法 是二维连续型随机变量,其联合密 设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量 其联合密 的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数 又设 类似于一维,求 的密度的一般方法为 的密度的一般方法为: 类似于一维 求Z的密度的一般方法为 (i)确定 的值域 R(Z )； 确定Z的值域 确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )， 对任意 求出Z的分布函数 的分布函数； 求出 的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时 则 与 独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数 例3.5.3 用上述定理求例 中 的密度函数
2.6随机变量函数的分布
设 y g ( x ) ax b ,
yb 1 ( y ) 0 . 得 x h( y ) , 知h a a
f X [ h( y )] h( y ) , y , 由公式 fY ( y ) 0, 其它 . 得 Y aX b 的概率密度为
随机变量函数的分布
离散型r.v、连续型r.v
一、离散型随机变量函数的分布
设 f ( x ) 是定义在随机变量 X 的一切可能值 x 的集合上的函数 , 若随机变量 Y 随着 X 取值 x 的值而取 y f ( x ) 的值 , 则称随机变量 Y 为随机 变量 X 的函数 , 记作 Y f ( X ).
练习：
123页7
三、其他形式
• • • • 例8 X~N(0,1),试求Y=X2 的分布。 解：g(x)不满足严格单调，反函数连续可导 不能使用公式，只能使用第一种方法。 Y=X2 ≥0
当 y≤0时，FY(y)=0
当 y 0时，有 FY ( y ) P (Y y ) P ( X 2 y ) P ( y X y ) 2 ( y ) 1
由于 Y 的取值为 [0,1], 所以 当 y 0 时 , FY ( y ) P {Y y } 0; 当 y 1 时 , FY ( y ) P {Y y } 1; 当 0 y 1 时 , FY ( y ) P {Y y } P { g ( X ) y }
a .
求：E(Y) 和 Var(Y)
例题6 （1）X~N(10,22) 求Y=3X+5的分布 （2） X~N(0,22) 求Y= - X的分布
• （1）Y~N(35,62) • （2）Y~N(0,22)
随机变量的分布函数
x < −1 , −1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 3, x ≥ 3.
-1 0 1 2 3
4
1
x
§3
随机变量的分布函数
1 1 1 P{X ≤ } = F( ) = , 2 2 4 3 5 5 3 3 1 1 P{ < X ≤ } = F( ) − F( ) = − = , 2 2 2 2 4 4 2
9
§3
随机变量的分布函数
用分布函数计算某些事件的概率
P{a ≤ X ≤ b} = P{X ≤ b}− P{X < a}
= F (b) − F (a − 0)
P{a < X < b} = P{X < b}− P{X ≤ a} P{a ≤ X < b} = P{X < b}− P{X < a}
= F (b − 0 ) − F (a − 0 )
设 F ( x) = P{ X ≤ x} 是随机变量 X 的分布函数，则 P{ X = a} = P{ X ≤ a} − P{ X < a} P{a < X ≤ b} = P{ X ≤ b} − P{ X ≤ a} P{ X < a} = F ( a − 0)
= F ( a ) − F ( a − 0) = F ( b) − F ( a )
随机变量的分布函数
1. 概 念
定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) = P{X ≤ x}
称为 X 的分布函数．
X x 0 F(x) = P{X ≤ x} x2) ，有： ： X
o
P{x1 < X ≤ x2} = P{X ≤ x2}− P{X ≤ x1} = F(x2 ) − F(x1).
随机变量函数的分布
,
0,
0 ey/2 1 其它
得
fY
(
y)
1 2
e
y
/
2
,
y0
0,
其它
即Y服从参数为1/2的指数分布.
例9
设随机变量 X ~ N ， 2 ，Y eX，试求随机变量
Y 的密度函数 fY y．
解: 由题设，知 X 的密度函数为
f x
1
x2
e 2 2
x
2
因为函数 y ex 是严格增加的，它的反函数为
0,
其它.
整理得 Y =2X +8 的概率密度为：
fY
(
y
)
y8 32
,
8 y 16,
0,
其它.
解题思路总结
核心思想：{Y y}等价于{X ?}
解题过程：
⑴．先求Y g X 的分布函数
FY y PY y P g X y fX ( x)dx g( x) y
⑵．利用Y g X 的分布函数与密度函数之间的关系 求Y g X 的密度函数 fY y FY y
一、 离散型随机变量函数的概率分布
当X为离散型随机变量时， Y g X 也是离散型
随机变量。并且在 X 的分布列已知的情况下，求Y的
分布列是容易的。
X 1 0 1 2 3
例1 已知X的分布列为
Pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
求 Y X 1 Y X2
的分布列。
解 由Y 的分布列可列出
面积Y小于 等价于半径X<1/2
0
1
即事件｛面积Y 1 ｝等价于事件｛半径X 1｝
4
2
所以 P{Y } P{ X 1} 1
随机变量的函数的分布ppt课件
布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求 任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解 由题意
X ~ p ( ) 且 P , X 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) 3 e 2
e e 3 e 2 2
P ( X 3 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 )
➢ k 阶中心矩：k = E[XE(X)]k ， k = 1, 2, ….
注意: 2 = Var(X).
.
2.7.2 变异系数
方差（或标准差）反映了随机变量取值的 波动程度，但在比较两个随机变量大小时 会产生不合理的现象。 原因有二： （1）方差（或标准差）是有量纲的； （2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量 的方差（或标准差）也允许大一些。
52051 60 2
.
例5 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公 司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际 费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外 开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资 方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况 下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合 理？
pY ( y)
pX [h( y)] | h( y) |
pX [ln
y]
1 y
1
y(1 ln 2 y)
由此得
pY ( y)
1 y(1 ln2
, y)
0,
y0 其它
.
正态变量的线性不变性
定理2.6.2 设 X ~N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b ~ N (a +b, a22).
习题
2、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且 P{X 1} P{X 2}，则 E（X）= ，D（X）=
X ~ p ( ) 且 P , X 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) 3 e 2
e e 3 e 2 2
P ( X 3 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 )
➢ k 阶中心矩：k = E[XE(X)]k ， k = 1, 2, ….
注意: 2 = Var(X).
.
2.7.2 变异系数
方差（或标准差）反映了随机变量取值的 波动程度，但在比较两个随机变量大小时 会产生不合理的现象。 原因有二： （1）方差（或标准差）是有量纲的； （2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量 的方差（或标准差）也允许大一些。
52051 60 2
.
例5 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公 司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际 费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外 开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资 方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况 下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合 理？
pY ( y)
pX [h( y)] | h( y) |
pX [ln
y]
1 y
1
y(1 ln 2 y)
由此得
pY ( y)
1 y(1 ln2
, y)
0,
y0 其它
.
正态变量的线性不变性
定理2.6.2 设 X ~N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b ~ N (a +b, a22).
习题
2、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且 P{X 1} P{X 2}，则 E（X）= ，D（X）=
随机变量的函数的分布
概率论与数理统计
2
❖ 一.离散型随机变量函数的分布
➢设X是离散型随机变量，X的分布律为
X x1 x2 … xn … pi p1 p2 … pn …
则Y = g(X)也是一个离散型随机变量，此时Y的分布律为
Y=g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) …
pi
p1
p2
…
pn
…
当 g(x1), g(x2), … , g(xn)中有某些值相等时，则把那些相 等的值分别合并，并把对应的概率相加即可．
由题意可知，
3
31
1
P(Y 0) P( X 3)
f X ( x)dx
1
dx , 42
P(Y 1) P( X 3) 1 P( X 3) 1 1 1 . 22
概率论与数理统计
10
❖ 二.连续型随机变量函数的分布
1.分布函数法
➢ 例2.5.2 已知随机变量X服从区间(1，5)内的均匀分布即
➢ 解 可得到分布函数如下
0, FY ( y) ln y,
1,
y1 1 y e, ye
Y=eX 的概率密度函数为
fY
(
y)
FY
(
y)
1 y
,
0,
1 ye .
其他
概率论与数理统计
13
❖ 二.连续型随机变量函数的分布
1.分布函数法
➢ 例2.5.4 设随机变量X具有概率密度fX(x), -∞<x<+∞, 求 Y=X2的概率密度．
➢求连续型随机变量的函数的概率密度主要有两种方法， 即分布函数法和公式法．主要讲分布函数法.
1. 分布函数法
➢设连续型随机变量X的概率密度为 fX(x)，求 X的函数 Y = g(X) 的概率密度 fY(y) 的方法是： （1）先求Y 分布函数：
随机变量的分布函数
A
sin
As
x
x
i nxx
2x
2
x
2A
2
2
2
A
2
求得
A
1 2
,于是f概x率 密度12 c函os数x
x
2
2
01
其它
f
x
1 2
cos
x
0
x
2
2
其它
利用分布函数与概率密度函数之间的积分关系,
F x x f t dt ，求分布函数 Fx
当 x 时, F x
x f t dt
=7/30+7/120
例 2.3.4 在一质量均匀的陀螺的圆周上均匀地刻上区间 (0,1]
上诸数字,旋转这陀螺,当它停下时,其圆周与桌面接触点的刻
度 X 是一个随机变量,求 X 的分布函数。
解 由陀螺刻度的均匀性，对于区间(0,1]内的任一子区间(a,b] 有 P( a<X≤b) =b-a. 因为，X可能取值为区间(0,1]上所有值， 所以，在求X的分布函数时，可将整个数轴分成三个区间来讨论.
x
0dt 0
2
当 x 时，
2
2
F x x f tdt
2 f (t)dt
x
f (t )dt
x
1 2
cos
tdt
1 sinx
2
1 2
2
2
f
第2.3节 随机变量的分布函数
一、分布函数
1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P{X≤x}, －∞＜x＜＋∞
为随机变量X的分布函数. 任意a<b, P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);
随机变量函数的分布
令：z = ( y − 8) / 2
⎪⎩ 0,
其他 .
得
fY
( y)
=
⎪⎧ ⎨
y −8, 32
8 < y < 16,
⎪⎩ 0, 其他 .
下面给出一个定理，当定理的条件满足时，可直接求随机
变量函数的概率密度 。
P45定理2.4.1 设随机变量X有概率密度函数fX(x), -∞<x<+∞, y= g(x) 为严格单调且处处可导的函数, 记 (α, β ) 为g(x)的
求:随机变量Y=2X+1的概率密度函数.
解:
∵ g(x)=2x+1为严格单调增函数,
g′(x) = 2 对一切x都存在，
α = g(−1) = −1, β = g(1) = 3
g(x)的反函数为:
x = y −1, 2
⎛ ⎜ ⎝
y
−1 2
⎞′ ⎟ ⎠
=
1 2
由定理2.4.1, ∴ Y=g(X)有概率密度函数:
第二章 随机变量
2.1 随机变量的概念 2.2 离散型随机变量 2.3 连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
§2.4 随机变量函数的分布
问题的提出
在实际中，人们有时对随机变量的函数更感兴趣。
D
如:
已知圆轴截面直径
D
的分布,求截面面积
A
=
π
⎜⎛
D
2
⎞ ⎟
⎝2⎠
的分布。
一般地，设随机变量 X 的分布已知， 求Y = g(X) (设 g 是连续函数) 的分布。
作业：2.18；2.20（1）；2.21
fY
(
y)
=
随机变量的函数分布例题和知识点总结
随机变量的函数分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的函数分布是一个重要的概念。
理解和掌握这一概念对于解决许多实际问题以及深入研究概率理论都具有关键意义。
接下来，我们将通过一些具体的例题来加深对随机变量函数分布的理解，并对相关知识点进行总结。
首先，让我们来明确一下什么是随机变量的函数分布。
给定一个随机变量 X，若通过某种函数关系 Y ＝ g(X) 定义了另一个随机变量 Y，那么我们关心的就是 Y 的概率分布，这就是随机变量的函数分布。
一、例题分析例 1：设随机变量 X 服从区间0, 1上的均匀分布，求 Y ＝ 2X ＋ 1 的概率分布。
由于 X 服从区间0, 1上的均匀分布，其概率密度函数为：＼f_X(x) ＝＼begin{cases}1, ＆ 0 ＼leq x ＼leq 1 ＼＼0, ＆＼text{其他}＼end{cases}＼对于 Y ＝ 2X ＋ 1，我们可以通过反解 X 得到：＼（X ＝＼frac{Y 1}｛2}＼）然后计算 Y 的分布函数＼（F_Y(y)＼）：＼＼begin{align}F_Y(y)＆＝P(Y\leq y)＼＼＆＝P(2X ＋ 1\leq y)＼＼＆＝P(X\leq ＼frac{y 1}｛2}）＼＼＼end{align}＼当＼（y ＜ 1\）时，＼（F_Y(y) ＝ 0\）当＼（1\leq y\leq 3\）时，＼＼begin{align}F_Y(y)＆＝＼int_{0}＾｛＼frac{y 1}｛2}｝1dx\＼＆＝＼frac{y 1}｛2}＼end{align}＼当＼（y ＞ 3\）时，＼（F_Y(y) ＝ 1\）对＼（F_Y(y)＼）求导，可得 Y 的概率密度函数＼（f_Y(y)＼）为：＼f_Y(y) ＝＼begin{cases}＼frac{1}｛2}，＆ 1 ＼leq y ＼leq 3 ＼＼0, ＆＼text{其他}＼end{cases}＼例 2：设随机变量＼（X\）服从标准正态分布＼（N(0, 1)＼），求＼（Y ＝ X^2\）的概率分布。
第13讲 随机变量的函数的分布
第二章 随机变量及其分反映随机变量的位置特征. • 不同点： 含义不同.
23 June 2012
第二章 随机变量及其分布
第30页
统计中常用的 p - 分位数
(1) N(0, 1)： Z , U (2)
2(n)：
2 ( n )
t ( n )
m)
(3) t (n)：
Y −18
−8
−2
0
P 3/10
23 June 2012
3/10
2/5
1/10
第二章 随机变量及其分布
第7页
一般地，我们先由X的取值xk，k=1，2，…求出Y的 取值yk=g(xk)，k=1，2…
①如果全部yk都不相同，则由P{Y=yk}=P{X=xk}可得
Y的分布律；
②如果全部yk中有某些取值相同，则把相应的X的取值
合并两式，即得证。 若ƒ(x)在有限区间[a，b]以外等于零，则只需假设 在[a，b]上恒有g(x)>0(或恒有g(x)<0)， 此时 a min{g () , g ( )} ,b max{g ( ) , g ( )}
23 June 2012
第二章 随机变量及其分布
第18页
FY y P X y P y X
2
y
y
y
f X x dx
于是得Y的概率密度为
f fY y X
y f
X
y /2
y
y0
0
y0
23 June 2012
第二章 随机变量及其分布
第14页
例如：设X～N(0，1)，其概率密度为
概率论-随机变量函数的分布
个连续型r.v，它的概率密度为
fY
(
y
)
f
[h(
y)]
dh( y dy
)
,
y
0,
其它
其中， min g(x), max g(x),
a xb
a xb
x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 .
此定理的 证明与前 面的解题 思路类似
注意 利用以上公式直接写出Y g( x) 的概率 密度时，要注意两点：
即
z y
FX (z y) fX ( x)dx
于是
FZ (z)
z y
fY ( y)[ f X ( x)dx]dy
fY
(
y)FX
(z
y)dy
将上式两边关于z求导，得
FZ (z) ຫໍສະໝຸດ fZ (z)fY ( y) fX (z y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z) 又可写成
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
y)
fY
(
y)dy
z
1
e
ydy,
0
0 z 1
fZ
(z)
z z 1
fX
(z
y)
fY
(
y)dy
0,
z 1 e ydy, z 1
z 1
其他
1 ez , 0 z 1
(e
1)e
z
,
z 1
0,
其他
f
X
(
x
)
1,
0,
0
x 其它
1 ,
e y , y 0
fY ( y)
0,
其它
方法二
若由卷积公式
fY
(
y
)
f
[h(
y)]
dh( y dy
)
,
y
0,
其它
其中， min g(x), max g(x),
a xb
a xb
x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 .
此定理的 证明与前 面的解题 思路类似
注意 利用以上公式直接写出Y g( x) 的概率 密度时，要注意两点：
即
z y
FX (z y) fX ( x)dx
于是
FZ (z)
z y
fY ( y)[ f X ( x)dx]dy
fY
(
y)FX
(z
y)dy
将上式两边关于z求导，得
FZ (z) ຫໍສະໝຸດ fZ (z)fY ( y) fX (z y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z) 又可写成
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
y)
fY
(
y)dy
z
1
e
ydy,
0
0 z 1
fZ
(z)
z z 1
fX
(z
y)
fY
(
y)dy
0,
z 1 e ydy, z 1
z 1
其他
1 ez , 0 z 1
(e
1)e
z
,
z 1
0,
其他
f
X
(
x
)
1,
0,
0
x 其它
1 ,
e y , y 0
fY ( y)
0,
其它
方法二
若由卷积公式
随机变量函数的分布
(296)
其中Cx{ t | g(t)x}
而P{XCx}往往可由X的分布函数FX(x)来表达或用其密
度函数fX(x)的积分来表达
P{X Cx} Cx fX (t)dt
进而 Y的密度函数 可直接从FY(x)导出
(297)
6
例228 设X是一个连续型随机变量 其分布函数F(x)是严 格单调递增的 则F(X)服从[0 1]上的均匀分布
10
(x)
FY(
x)
1 x
0(
x), x
当x0时
FY (x) P{X 2 x} P{
x
fXY
(x)
xF}Y(2x) 0(
1xx)010(,
x),
0, x 0,
x 0,
x0
(x) P{X 2 x} P{ x X
x X x} 20( x)1
x} 20(
x
) 1 fY (x)
1
e
x 2
§25 随机变量函数的分布
一、随机变量的函数 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布
1
一、随机变量的函数
随机变量的函数
如果存在一个函数g(x) 使得随机变量X Y满足
Yg(X)
(289)
则称随机变量Y是随机变量X的函数
如何从自变量X的统计规律导出其函数Yg(X)的统计规
律呢？
对任意区间(或区间的并)B 令C{x|g(x)B} 则
{YB}{g(X)B}{XC}
(290)
从而
P{YB}P{g(X)B}P{XC}
(291)
(291)说明 X的统计规律确实决定了Y的统计规律
2
例226 设X是一随机变量 且YX2 则对任意α0 有
随机变量函数的分布
同理，PZ 4 0.25， Z 9 0.15 P 即Z的概率分布为 Z=X2 P 0 0.20 1 0.40 4 0.25 9 0.15
通过例题可总结出计算离散型随机变量函数的分布 的方法：
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第5页
首先将X的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的 取值 yi g ( xi ) (i 1 2， . ) ， 如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …
y 5 3
f X ( x)dx
y 5 1 3
y 5 0 3
y 5 1 3
0
Y的概率密度函数为
y 5 3 0
2 xdx x
y 5 2 3 0
2 9 ( y 5), 5 y 8, d fY ( y ) FY ( y ) dy 0, 其它.
h y f X [h( y )] , y fY y 0 , 其他
式中 min{g (), g ()}, max{g (), g ()},
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第11页
例4 设X～U(-π /2，π /2)，求Y= sinX的概率密度。 1 , x 解 X的概率密度为 f ( x) 2 2 0 , 其他 由于y = sinx在(-π/2,π/2)是 x 的单调可导函数，其反 函数x = arcsiny 存在、可导且导数恒不为零。 而 h(y)= arcsiny, h’(y)=
1 2 2 f X ( x) e ( x ) 2 由于y=ax+b的反函数x=h(y)=(y-b)/a在(-∞,+∞)上单调、 可导，且h’(y)=1/a ，故随机变量Y=aX+b的密度函数为 ( x )2
随机变量的分布函数
y
1
O
1
2
x
3
P{0 X 2} k 2 2 1 k 1/ 4 2 x 当 时 存在 , 令 F ( x ) x X 2P F (0 x) P { X x} X 0} P{0 X x} x0 20, ,x P { {x 0} 4 t ,0 {X x } 故 tS , 2, 若 x 2, F由题意有 ( x) 处处连续 , 故 f (t ) 2 F (t ) (t 0, t 2) F ( x) P {P (S )x 01 X } 0 其它 0, 即 X 的分布函数为 F ( x) 则 0 , x x 0, 怎样理解这一结论？ 2 x) x F ( x) F ( ,0 f (t x)dt 2, / 4 , x2 1 END
例 一个半径为 2 米的圆盘靶子 , 设 R2m 击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该 X 圆盘的面积成正比 , 且射击都能中靶 , 记 X表示弹着点与圆心的距离.求X的分布函数. 显然当 x 0时 ,{ X x} , 故称这样的随机变量 F ( x) P{ X x} 0 为连续型随机变量 若 0 x 2, 由题意有 P{0 X x} kx 2 , k 为常数
3、F ( x)在R上右连续：
F ( x 0) F ( x)；
4、F () 0，F () 1.
三、离散型随机变量的分布函数与分布律之 间的关系 (1)已知分布律 pk 求 F ( x);
F ( x ) P{ X x}
xi x
P{ X x } p
第二章 随机变量及其分布 2.3 随机变量分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数 F(x)=P{X ≤ x} ( -∞< x <+∞ ) 为பைடு நூலகம்机变量X的分布函数。
1
O
1
2
x
3
P{0 X 2} k 2 2 1 k 1/ 4 2 x 当 时 存在 , 令 F ( x ) x X 2P F (0 x) P { X x} X 0} P{0 X x} x0 20, ,x P { {x 0} 4 t ,0 {X x } 故 tS , 2, 若 x 2, F由题意有 ( x) 处处连续 , 故 f (t ) 2 F (t ) (t 0, t 2) F ( x) P {P (S )x 01 X } 0 其它 0, 即 X 的分布函数为 F ( x) 则 0 , x x 0, 怎样理解这一结论？ 2 x) x F ( x) F ( ,0 f (t x)dt 2, / 4 , x2 1 END
例 一个半径为 2 米的圆盘靶子 , 设 R2m 击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该 X 圆盘的面积成正比 , 且射击都能中靶 , 记 X表示弹着点与圆心的距离.求X的分布函数. 显然当 x 0时 ,{ X x} , 故称这样的随机变量 F ( x) P{ X x} 0 为连续型随机变量 若 0 x 2, 由题意有 P{0 X x} kx 2 , k 为常数
3、F ( x)在R上右连续：
F ( x 0) F ( x)；
4、F () 0，F () 1.
三、离散型随机变量的分布函数与分布律之 间的关系 (1)已知分布律 pk 求 F ( x);
F ( x ) P{ X x}
xi x
P{ X x } p
第二章 随机变量及其分布 2.3 随机变量分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数 F(x)=P{X ≤ x} ( -∞< x <+∞ ) 为பைடு நூலகம்机变量X的分布函数。
随机变量的分布函数
求常数a.
答:
−x
1 a= 2
（3） (a ≤ X < b)＝ a p(u)du 的 何 义 P 几 意 ∫
b
(4) 若x是p(x)的连续点，则 的连续点， 是 的连续点
dF(x) = p(x) dx
例2：设随机变量X的分布函数为
1 x 2e F(x) = 1 −x − e 1 2 x <0 x ≥0
− e−λx , x > 0 1 F(x)＝ 0, x ≤ 0
电子元件的寿命X( 例6 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指 电子元件的寿命X(年 服从参数为3 数分布. 数分布. (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 求该电子元件寿命超过 (2)已知该电子元件已使用了1.5年 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能 已知该电子元件已使用了1.5 使用两年的概率为多少？ 使用两年的概率为多少？ 解:
反之，任一满足上述四个性质的二元 反之， 函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变 函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变 Y)的分布函数 的分布函数。 量(X, Y)的分布函数。
例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 已知二维随机变量
x y F(x, y) = A[B + arctg( )][C + arctg( )] 2 3
上服从均匀分布， 例 5 ： 设 K 在（ 0 ，5 ） 上服从均匀分布 ， 2 求方程 4x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概 率。
p(x)
2. 指数分布
λe−λx , x > 0 若 X～ p(x)＝ ～ 0, x ≤ 0
答:
−x
1 a= 2
（3） (a ≤ X < b)＝ a p(u)du 的 何 义 P 几 意 ∫
b
(4) 若x是p(x)的连续点，则 的连续点， 是 的连续点
dF(x) = p(x) dx
例2：设随机变量X的分布函数为
1 x 2e F(x) = 1 −x − e 1 2 x <0 x ≥0
− e−λx , x > 0 1 F(x)＝ 0, x ≤ 0
电子元件的寿命X( 例6 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指 电子元件的寿命X(年 服从参数为3 数分布. 数分布. (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 求该电子元件寿命超过 (2)已知该电子元件已使用了1.5年 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能 已知该电子元件已使用了1.5 使用两年的概率为多少？ 使用两年的概率为多少？ 解:
反之，任一满足上述四个性质的二元 反之， 函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变 函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变 Y)的分布函数 的分布函数。 量(X, Y)的分布函数。
例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 已知二维随机变量
x y F(x, y) = A[B + arctg( )][C + arctg( )] 2 3
上服从均匀分布， 例 5 ： 设 K 在（ 0 ，5 ） 上服从均匀分布 ， 2 求方程 4x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概 率。
p(x)
2. 指数分布
λe−λx , x > 0 若 X～ p(x)＝ ～ 0, x ≤ 0
随机变量函数分布
随机变量函数分布随机变量函数分布是概率论中的重要概念，它描述了一个随机变量经过函数转换后的分布情况。
在实际问题中，我们常常需要通过随机变量的函数来描述某种现象的规律或特性。
本文将介绍随机变量函数分布的基本概念和常见的分布形式。
一、随机变量函数分布的定义随机变量函数分布指的是一个随机变量经过某种函数转换后的概率分布情况。
在数学上，对于一个随机变量X和一个函数Y=f(X)，我们可以描述函数Y的概率分布，也就是Y的取值在各个区间内的概率。
通常情况下，我们可以通过概率密度函数或累积分布函数来描述随机变量函数分布。
二、常见的随机变量函数分布形式1. 线性变换最简单的随机变量函数分布形式就是线性变换。
设X是一个随机变量，Y=aX+b是X的线性变换，其中a和b为常数。
如果知道X的分布情况，就可以通过线性变换得到Y的分布。
具体地，如果X服从均匀分布，则Y也会服从均匀分布。
2. 指数变换指数变换是常用的随机变量函数形式之一。
如果X服从指数分布，经过指数变换Y=e^X后，Y会服从对数正态分布。
指数变换在描述某些事件的时间间隔时非常有用，比如描述两次地震事件之间的时间间隔。
3. 幂变换幂变换是一种常见的函数形式，如果X服从正态分布，Y=X^2后，Y会服从卡方分布。
幂变换在统计学中的应用非常广泛，比如方差分析和回归分析中就经常用到幂变换来处理数据。
三、实际应用举例在实际问题中，随机变量函数分布具有广泛的应用。
比如在金融领域中，可以通过随机变量函数分布来描述股票价格的涨跌情况，进而进行风险管理和投资决策。
在生物学领域中，可以通过随机变量函数分布来描述基因的变异情况，进而研究遗传特性。
总的来说，随机变量函数分布是概率论中一个重要的概念，它通过函数转换描述了随机变量的特性和规律。
通过研究随机变量函数分布，我们可以更好地理解现实世界中复杂的随机变量关系，从而进行更加精确的建模和分析。
3.4随机变量函数的分布
3.4.1一维随机变量函数的分布
求Y=g(X) 的分布的一般方法的步骤：若X~f(x), -< x<
+(1) 确定Y的取值范围R(Y)；
（2）求Y的分布函数, 任意y ∈R(Y) ，
FY (y) ＝P{Yy}＝P {g(X) y}＝
f ( x)dx
g ( x) y
（3）对分布函数求导，
fY (
(4)
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y b), a
y R(Y );
例3.4.4.(1)设X ~ N (, 2 )，Y aX b(a 0)
求Y的密度函数 fY ( y)；若Y
解：(1).由X的密度f X (x)
X .求Y的分布。
1
e
(
x) 2 2
2
,易知
2
1 yb fY ( y) a fX ( a )
2
0, y 0.
2 分布, 记作Y～ 2 (1).
即为Γ （1/2，1/2）
二维连续型随机变量的函数的分布（不要求）
设二维随机变量(X,Y)~f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数， 则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为
FZ (z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z) f (x, y)dxdy g ( x, y ) z
1
[ y (a b)]2
exp{
2 . a
2(a )2
},( y )
即：Y ~ N (a b, a2 2 ).
重要结果
~X N (, 2 )
• a bX (b 0) ~ N (a b, | b |2 2 )
•
特别：
X
求Y=g(X) 的分布的一般方法的步骤：若X~f(x), -< x<
+(1) 确定Y的取值范围R(Y)；
（2）求Y的分布函数, 任意y ∈R(Y) ，
FY (y) ＝P{Yy}＝P {g(X) y}＝
f ( x)dx
g ( x) y
（3）对分布函数求导，
fY (
(4)
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y b), a
y R(Y );
例3.4.4.(1)设X ~ N (, 2 )，Y aX b(a 0)
求Y的密度函数 fY ( y)；若Y
解：(1).由X的密度f X (x)
X .求Y的分布。
1
e
(
x) 2 2
2
,易知
2
1 yb fY ( y) a fX ( a )
2
0, y 0.
2 分布, 记作Y～ 2 (1).
即为Γ （1/2，1/2）
二维连续型随机变量的函数的分布（不要求）
设二维随机变量(X,Y)~f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数， 则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为
FZ (z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z) f (x, y)dxdy g ( x, y ) z
1
[ y (a b)]2
exp{
2 . a
2(a )2
},( y )
即：Y ~ N (a b, a2 2 ).
重要结果
~X N (, 2 )
• a bX (b 0) ~ N (a b, | b |2 2 )
•
特别：
X
随机变量函数的分布
1 1 2
三、连续型随机变量函数的分布 一般 地，连续型随机变量的函数不一定是连续型随 机变量， 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还 是连续型随机变量的情形， 此时我们不仅希望求出 随机变量函数的分布函数， 而且还希望求出其概率 密度函数. 设已知 X 的分布函数 FX ( x ) 或概率密度函数 f X ( x ), 则随机变量函数 Y g( X ) 的分布函数
1 y b fX ( ). k k
例
设X ~ N ( , 2 ), Y aX b,(a, b为常数, 且a 0), 则Y ~ N (a b, a 2 2 ).
f X ( x)
1 2
1
e
( x )2 2 2
,( x )
1 2 a
2
P{Y x } P{ X 2 x } P{ X x } P{ X x }.
完
二、离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量， 其概率分布已知。 Y g( X )为X的函数.
若X 为D.r .v.
问题
Y g( X ) 为D.r .v .
如何根据随机变量 X 的分布 求得随机变量 Y g( X )的分布 ?
一、随机变量的函数 主要 我们讨论变量间的函数关系时， 在微积分中， 注： 研究函数关系的确定性特征， 例如： 导数、积分等. 而 在概率论中，我们主要研究的是随机变量函数的随机
即由自变量 X 的统计规律性出发研究因变量 Y 特征，
的统计性规律. 一般地， 对任意区间 I , 令 C { x | g( x ) I }, 则
( y ( a b ))2 2 a 2 2
1 yb 1 fY ( y ) fX ( ) k k a
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1
X 2k, k 1, 2, 3, .
pq2 pq p p
1 q4 1 q2 1 q4
休息，休息一下！
Y 的所有可能取值为：-1, 0, 1.
sin X1X2k
2
2
2
X4k 1, k 1, 2, 3, .
P{Y 1} P{sin X 1}
P{X 4k 1} pq 4k2
pq2
2
k1
k1
1 q4
同理 P{Y 1}
p ,
1 q4
P{Y 0} pq 1 q2
sin X0 Xk
2
2
所以，Y 的分布律为： Y 1 0
已知X 的分布律为 pk PX xk ，k 1,2,.
Y 的所有可能取值为：y1 , y2 , … , yk , …
Y 的分布律为 qk PY yk P g( X ) yk PX xi
pi ( k 1,2,.)
i:g ( xi ) yk
i:g ( xi ) yk
随机变量函数的分布
P{ Y = 9 } = P{ X = 5 } =1/9. P{ Y = 4 } = P{ X = 0 } +P{ X = 4 } =11/36. 所以，Y 的分布律为： Y 0 1 4 9
p 1 1 11 1 3 4 36 9
随机变量函数的分布
例2 已知 X ~ G( p ). 求 Y = sin( πX/ 2 ) 的分布律. 解：X 的分布律为 P{X k } pqk1, k 1,2,.
导致 y 的取值具有随机性，可将 x、y 看做随机变量.
已知 X 的概率分布，如何求 Y 的概率分布？
随机变量函数的分布
若 X 是一个随机变量，g(x)是一个实函数，则Y = g ( X ) 也是一个随机变量. 根据随机变量 X 的分布可以求出随机变量 Y 的分布.
ห้องสมุดไป่ตู้
1. 离散型随机变量的函数的分布 如果 X 是一个离散型随机变量，则Y = g ( X ) 也是一个离散型随机变量.
第二章 一维随机变量及其概率分布 第五节 随机变量的函数的分布
随机变量的函数的分布 离散型情形
引言
问题的引入
实际应用问题中，可能会遇到这样的问题：要研究变量 y 的特性， 但 y 不可测量，进而研究另一个与之相关的可测量变量 x , 而 y 与 x 之间有函数关系 y = g (x). 测量 x 的时候会有随机误差的影响，
例1 已知 X 的分布律如下表所示. 求 Y = ( X – 2 ) 2 的分布律.
X
0
p
1
12
12 3 11 1 6 3 12
45 21 99
X: 0 1 2 3 4 5 Y: 4 1 0 1 4 9
解：Y 的所有可能取值为： 0, 1, 4, 9.
P{ Y = 0 } = P{ X = 2 } =1/3. P{ Y = 1 } = P{ X = 1 } +P{ X = 3 } =1/4.