图论及其在数学建模中的应用

v3 v5 v7
从 v1 出发，按广度优先访问到的 点序列为 v1v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 ;
按深度优先访问到的点序列为 v1 v 3 v 5 v 7 v 6 v 4 v 2 。
v1
v2
v4
v6
简单图： 任何一条边连结 两个不同的点， 任何两个点之间 至多有一条边的 图。
自回路
例. 求右图中点 a 到其余 点的最短路。
6 3 a l(a) l(b) 0 6 6 5 l(c) l(d) 3 1 3 1
12 11 11 11
b
1
e 6 10 4
2 3
i 6
3 h 4
2
c 2 d
f
g
2
l(e) l(f ) l(g) l(h) l(i )
解法： 用最短路算法求出所有点对之间的距离，然 后确定 v0 。
例. 某县拟建一消防站为辖区内的 8 个镇服务，问应 设在哪一个镇上才能使它离最远镇的距离最小？ 已知各镇（A 至 H）之间的道路连结情况和距离 如下图所示。
A
3 2.5 1 E F B 1.5 C 3 3 2 G 2
中心为点 B
D 1.5 2
x1 x2 x3 y1 y2 y3
需要 3 种颜 色给边着色
使得相邻的边有
不同的颜色。
x4
一、图的基本概念
点 v 的度数：与 v 相连的边的条数，记做 deg(v) 。 命题：图的所有点的度数之和等于边数的两倍，即
vV deg(v ) 2 | E |
。
例. 碳氢化合物中氢原子的个数为偶数。
注： 当 v 未被访问时，l(v) = 0，否则 l(v) 记录 v 被访 问的序号； 集合 S 保存与某个已访问的点相邻 但还没有被访问的点。
广度优先搜索： 在步骤 (2) 优先访问先加入 S 的点 （先进先出），并且在步骤 (3) 只 需考虑 v V \ S 。 深度优先搜索： 在步骤 (2) 优先访问后加入 S 的点（后进先出），在 步骤 (3) 可以将某个 v S 再加入 S ，这意味着在 S 中将 v 的次序后移，从而 v 可以被更早地访问。
最短路问题：求赋权图上指定点之间的权最小的路。
Dijkstra 算法
Biblioteka Baidu假设：对一切e E，有 w(e ) 0 。
(1) l (v s ) 0 , l (v ) (v v s ) , S {v s } , i s .
( 2) 若 S V，则终止；否则，对每 v S 且 {v i , v } E ， 个 令 l (v ) min {l (v ) , l (v i ) w (v i , v )} .
≌
v1 v3 v5 v2 在图的概念中，点的空间位置、 边的曲直长短都是无关紧要的， 重要的是其有几个点以及哪些点 之间有边相连。
v4
如果用点表示要研究的对象，则图的边可以用来反映 对象之间是否存在某种关系。 用点表示人，边表示两个人是否互相认识；
在地区公路图中，用点表示城市，边表示城市之间是 否有公路直接相连； 在分子结构图中，用点表示原子，边表示原子之间是 否存在化学键； ……
(1) l (v s ) , l (v ) 0 (v v s ) , S {v s } , i s .
( 2) 若 S V，则终止；否则，对每 v S 且 {v i , v } E ， 个 令 l (v ) max {l (v ) , min{ l (v i ) , w (v i , v )}} .
三、树
无圈的连通图称为树。树的等价定义：
(1) G 无圈且 |E| = |V| - 1 ； (2) G 连通且 |E| = |V| - 1 ； (3) G 无圈，但在两个不相邻的点之间添加一条边后得 到恰好一个圈 ；
(4) G 连通，但删去任何一条边后便不连通； (5) G 中任何两点间有且仅有一条通路（点不重复的 路）。
若 T 是 G 的生成子图且是一棵树，则称 T 是 G 的生成 树或支撑树。
T1 至 T8 都是 T 的 生成树
G
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
命题：完全图 Kn 有 n n -2 棵生成树。
最小生成树问题 给定一个赋权连通图 G = (V , E , w) ，求 G 的一棵生成 树 T 使得 T 中所有边的权之和最小。 Kruskal 算法
7 7 6 11 11 11 10 10 10 9 9 8
S
{a} {a,d} {a,d,c} {a,d,c,b} {a,d,c,b,e} {a,d,c,b,e,i} {a,d,c,b,e,i, g} {a,d,c,b,e,i, g, f } {a,d,c,b,e,i, g, f , h}
o 哥尼斯堡 (Knigsberg) 七桥问题
(Euler, 1736)
C C
是否可以 一笔画?
A
D
A
D
B
B
右图是否存在经过每条边恰好一次的回路，即是否为 Euler 图？
化学药品存放问题 某单位需要存放一些化学药品，其中某些药品不能放 在同一个库房里，问至少需要几个库房？
用点表示药品，在不能放在同一个库房的两种药品之 间连边。需要几个库房等价于需要用几种颜色给图的 点着色可以使得相邻的点有不同的颜色。
H
2. 使加权距离和最小
设 G (V , E , q, w ) 是一个点-边皆赋权的连通图，其中 权函数 q 定义在点集合 V 上，w 定义在边集合 E 上， 称使得
uV
q(u)d (v0 , u) min q(u)d (v, u) vV
uV
的点 v0 是 G 的加权中心。
例. 某矿区有 8 个出矿点 （A至H），这 8 个 出矿点每天的矿石产 量分别为 3、5、2、2、 2、7、4、1 百吨。要 从这 8 个出矿点中选 一个建选矿厂，应建 在何处才能使总运价 最低？已知各出矿点 之间的道路和距离如 右图所示。
多重边
该图非简单图
完全图： 任何两个点之间都有边相连的简单图。 n 个点的完全图记作 Kn 。
K3
K4
K5
二分图： 点集 V 能划分成两个子集 X、Y，使得每条 边的两个端点分别属于 X 和 Y 的图。 二分图 G 也记作 G = (X, Y, E ) 。 称 G = (X, Y, E ) 为完全二分图，若 X 中的每个点和Y 中的每个点之间皆有边相连，记作 K | X | , |Y | 。
a c e g b
d f
图中的 7 种药品需要 3 个库房，例 如 {a , b , e}，{c , d , g}，{ f } 各放一 个库房。
排课表问题 有 m 位教师 x1, …, xm 和 n 个班级 y1, …, yn ，教师 xi 需要给班级 yj 上 wij 节课，试编制一张课表使得课时 尽量少。 构造图 G = (V , E )，其中 V = { x1, …, xm , y1, …, yn } , 点 xi 与 yj 之间连有 wij 条边。 给 G 的边着色，
图论及其在数学 建模中的应用
一个图 G =(V ,E) 由一些点及点之间的连线（称为边） 构成，V、E 分别记 G 的点集合和边集合。
v1 v5 v4 v2
V v1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5
v3
{v1 , v 2 }, {v 2 , v 3 }, {v 3 , v 4 } E {v 4 , v 5 }, {v1 , v 5 }
K1, 3
K2, 3
K3, 3
命题：图 G 是二分图当且仅当 G 中不存在长度为 奇数的圈 。
二、最短路问题
在图 G = (V , E ) 的边集上定义权函数 w : E R 后就 得到一个赋权图，记为 G = (V , E , w) 。 对于赋权图，路的长度（即路的权）通常指路上所有
边的权之和。
v3
v5
v6
v8
路 v1v 2 v 4 v 5 v 3 v 4 v 6 v 7 的长度为 7 回路 v 2 v 4 v 5 v 6 v 4 v 3 v 2 的长度为 6 圈 v 2 v 4 v 5 v 3 v 2 的长度为 4
v1
v2
v4
v7
命题：若点 v 与 v 之间有路，则必有一条长度不 超过 |V | - 1 的路。
图的中心与选址问题 1. 使最大服务距离最小
给定一个赋权连通图 G = (V , E , w) ，在该图的点集中
确定一个点 v0 作为该图的中心，使得
max d ( v 0 , u ) min max d ( v , u )
uV vV uV
其中 d(v,u) 表示点 v、u 之间的距离，即最短路长。
eP w(e ) ln eP p(e )
求最可靠路等价于在赋权图 G (V , E , w ) 中求最短路。
2. 最大容量路 设在图 G = (V , E , w) 中，权 w(e) 表示 边 e 的通过能力(或容量)，求 G 中指 定两点间的一条通过能力最大的路。
一条路的通 过能力等于 路上各边通 过能力的最 小值。
( 3) 设 l (v k ) max {l (v ) | v S }，令 S S {v k }，i k， 转 ( 2)。
注：v S 时，l (v ) 表示 v s 至 v 的最大容量路的容量 ;
具体路径可以通过反向跟踪获得，即 v 的紧前点 u 应满足
min{ l (u), w(u, v )} l (v ) .
G'
G''
G' 和 G'' 都是 G 的生成子图。
图 G 的一条点与边的交替序列 P v 0 e1v1e 2 v 2 e k v k 称为路，其中 e i {v i 1 , v i } (1 i k ) .
边数 k 称为路 P 的长度。 当 v0 = vk 时，称 P 为回路。除 v0 = vk 外，点不重复的 回路称为圈。
在图 G 中，若点 u、v 之间有路，则称 u、v 连通。若
G 的任何两点之间有路，则称 G 是连通图。 G 的极大连通子图称为连通分支。
有三个连通分支 u w
若删去某条边 e 之后图 的连通分支数增加，则 称 e 为割边或桥； 若删去某个点 v 及相连 的边后连通分支数增加， 则称 v 为割点。
加权中心为点 B
A 1.5 2 E 2 F
B 2.5 3
3.5 3 G
C 3 2
2
D
H
最短路问题的变种 1. 最可靠路
在通信网络中，已知各段线路的可靠性，求指定两 点间可靠性最大的线路，其中一条线路的可靠性是 其上各段线路的可靠性之积。
用图 G = (V , E) 表示网络，设线路 e (G 的一条边)的可 靠性为 p(e) (0 p(e) 1) ，给 e 定义权 w(e) ln p(e) ， 则 G 的一条路 P 的权
H H C H H H H C H C H H H C C C H C C H H
H
C
两个图 G =(V ,E) 和 G (V , E ) ，如果有 V V , E E , 则称 G 是 G 的子图。 若G 是G 的子图，且V =V，则称G 是G 的生成子图。
G
( 3) 设 l (v k ) min {l (v ) | v S }，令 S S {v k }，i k， 转 ( 2) 。
注： v S 时，l (v ) 表示 v s 至 v 的最短路长; v S 时，l (v ) 是 v s 至 v 的最短路长的一个上界 ; 最短路径可以通过反向跟踪获得，即若 l(u) + w(u,v) = l(v) ，则 u 是 v 的紧前点。
e
v e 为割边 u、v、w 皆为割点
以下算法从点 vs 出发访问 vs 所在连通分支上的所有点：
(1) 令 l (v ) 0 (v V ), S {v s }, k 1 ; ( 2) 取 v S，令 S S \ {v }, l (v ) k ; ( 3) 对每个 v V，若 {v , v } E 且 l (v ) 0，则将 v 加入 S ; (4) 若 S ，算法终止；否则，令 k 1，转 ( 2) 。 k