2020年广西河池中考数学试题及参考答案(word解析版)

2020年河池市初中学业水平考试

数学试题卷

（满分120分，考试用时120分钟）

第Ⅰ卷（选择题共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作（）

A．+20 元B．+10元C．﹣10元D．﹣20元

2．如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（）

A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角

3．若y＝有意义，则x的取值范围是（）

A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2

4．下列运算，正确的是（）

A．a（﹣a）＝﹣a2B．（a2）3＝a5C．2a﹣a＝1 D．a2+a＝3a

5．下列立体图形中，主视图为矩形的是（）

A．B．C．D．

6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）

A．B．

C．D．

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（）

A．B．C．D．

8．某学习小组7名同学的《数据的分析》一章的测验成绩如下（单位：分）：85，90，89，85，98，88，80，则该组数据的众数、中位数分别是（）

A．85，85 B．85，88 C．88，85 D．88，88

9．观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（）

A．B．C．D．

10．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）

A．6 B．7 C．8 D．9

11．如图，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB

＝5，ED＝4．则CE的长是（）

A．5B．6C．4D．5

12．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点

F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题共84分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．计算3﹣（﹣2）＝．

14．方程＝的解是x＝．

15．如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，

OE∥AB，则OE的长是．

16．不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出

一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球

的概率是．

17．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，

则∠2＝°．

18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB

上，且BD＝，点E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点

B′处，则点B′到AC的最短距离是．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．）19．（6分）计算：（﹣3）0++（﹣3）2﹣4×．

20．（6分）先化简，再计算：+，其中a＝2．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，2）．

（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标

是．

（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是．

（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是．

（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是．

22．（8分）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．

23．（8分）某校举行了主题为“防溺水，保安全”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了50名参赛学生的成绩进行相关统计，整理得尚未完整的频数分布表和扇形统计图．现累计了40名参赛学生的成绩，余下10名参赛学生的成绩尚未累计，这10名学生成绩如下（单位：分）：75，63，76，87，69，78，82，75，63，71．

频数分布表

（1）在频数分布表中补全各组划记和频数；

组别分数段划记频数

A 60＜x≤70 正

B 70＜x≤80 正正

C 80＜x≤90 正正正正

D 90＜x≤100 正

（2）求扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数；

（3）该校有2000名学生参加此次知识竞赛，估计成绩在80＜x≤100的学生有多少人？24．（8分）某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元/kg；乙店的香蕉价格为5元/kg，若一次购买6kg以上，超过6kg部分的价格打7折．

（1）设购买香蕉xkg，付款金额y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式；

（2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．

25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．

26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：

y＝a（x﹣p）（x﹣q），

＝ax2﹣a（p+q）x+apq．

（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；

（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．

答案与解析

第Ⅰ卷（选择题共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作（）

A．+20 元B．+10元C．﹣10元D．﹣20元

【知识考点】正数和负数．

【思路分析】根据正负数的含义，可得：收入记作“+”，则支出记作“﹣”，据此求解即可．【解题过程】解：如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作﹣10元．

故选：C．

【总结归纳】此题主要考查了正负数在实际生活中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

2．如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（）

A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角

【知识考点】对顶角、邻补角；J6：同位角、内错角、同旁内角．

【思路分析】根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．

【解题过程】解：如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．

故选：A．

【总结归纳】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．

3．若y＝有意义，则x的取值范围是（）

A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2

【知识考点】二次根式有意义的条件．

【思路分析】根据被开方数大于或等于0，列式计算即可得解．

【解题过程】解：由题意得，2x≥0，

解得x≥0．

故选：B．

【总结归纳】本题考查二次根式有意义的条件．解题的关键是明确二次根式的被开方数是非负数．4．下列运算，正确的是（）

A．a（﹣a）＝﹣a2B．（a2）3＝a5C．2a﹣a＝1 D．a2+a＝3a

【知识考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．

【思路分析】利用单项式乘单项式、积的乘方的运算法则，合并同类项的运算法则分别计算后即可确定正确的选项．

【解题过程】解：A、a（﹣a）＝﹣a2，原计算正确，故此选项符合题意；

B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；

C、2a﹣a＝a，原计算错误，故此选项不符合题意；

D、a2与a不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；

故选：A．

【总结归纳】本题考查了单项式乘单项式、积的乘方，合并同类项．解题的关键是能够熟练掌握有关的运算法则，难度不大．

5．下列立体图形中，主视图为矩形的是（）

A．B．C．D．

【知识考点】简单几何体的三视图．

【思路分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．

【解题过程】解：球体的主视图是圆形，圆台的主视图是等腰梯形，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，

故选：C．

【总结归纳】本题考查简单几何体的三视图，理解三种视图的意义是正确解答的前提．

6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）

A．B．

C．D．

【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

【思路分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．

【解题过程】解：，

由①得：x＞1，

由②得：x≤4，

不等式组的解集为：1＜x≤4，

【总结归纳】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确确定两个不等式的解集．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（）

A．B．C．D．

【知识考点】锐角三角函数的定义．

【思路分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．

【解题过程】解：如图所示：

∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，

∴AB＝＝13，

∴sinB＝＝．

故选：D．

【总结归纳】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角关系是解题关键．

8．某学习小组7名同学的《数据的分析》一章的测验成绩如下（单位：分）：85，90，89，85，98，88，80，则该组数据的众数、中位数分别是（）

A．85，85 B．85，88 C．88，85 D．88，88

【知识考点】中位数；众数．

【思路分析】将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．

【解题过程】解：将数据85，90，89，85，98，88，80按照从小到大排列是：80，85，85，88，89，90，98，

故这组数据的众数是85，中位数是88，

故选：B．

【总结归纳】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，会求一组数据的众数和中位数．

9．观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（）

A．B．C．D．

【知识考点】三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【思路分析】根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB 于点D，连接CD即可判断．

【解题过程】解：作AB边的垂直平分线，

交AB于点D，

所以CD为△ABC的边AB上的中线．

故选：B．

【总结归纳】本题考查了作图﹣基本作图、三角形的角平分线、中线和高、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的中线．

10．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）

A．6 B．7 C．8 D．9

【知识考点】一元二次方程的应用．

【思路分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．

【解题过程】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：

x（x﹣1）＝36，

化简，得x2﹣x﹣72＝0，

解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），

答：参加此次比赛的球队数是9队．

故选：D．

【总结归纳】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．

11．如图，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）

A．5B．6C．4D．5

【知识考点】平行四边形的性质．

【思路分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长．

【解题过程】解：∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE＝∠DCE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，

∴∠BEC＝∠DCE，

∴∠BEC＝∠BCE，

∴BC＝BE＝5，

∴AD＝5，

∵EA＝3，ED＝4，

在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，

∴∠AED＝90°，

∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，

在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．

故选：C．

【总结归纳】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．

12．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（）

A．B．C．D．

【知识考点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

【思路分析】连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．

【解题过程】解：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠BCF＝90°，

∵BF⊥CD，

∴∠CFB＝90°，

∴∠CBF+∠BCF＝90°，

∴∠ACE＝∠CBF，

∵AE⊥CD，

∴∠AEC＝∠CFB＝90°，

∴△ACE∽△CBF，

∴，

∵FB＝FE＝2，FC＝1，

∴CE＝CF+EF＝3，BC＝＝＝，

∴＝，

∴AC＝，

故选：B．

【总结归纳】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键．

第Ⅱ卷（非选择题共84分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．计算3﹣（﹣2）＝．

【知识考点】有理数的减法．

【思路分析】根据有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解题过程】解：3﹣（﹣2）＝3+2＝5．

故答案为：5．

【总结归纳】本题考查了有理数的减法运算，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．

14．方程＝的解是x＝．

【知识考点】解分式方程．

【思路分析】根据解分式方程的步骤解答即可．

【解题过程】解：方程的两边同乘（2x+1）（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1，

解这个方程，得：x＝﹣3，

经检验，x＝﹣3是原方程的解，

∴原方程的解是x＝﹣3．

故答案为：﹣3．

【总结归纳】本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．15．如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE∥AB，则OE的长是．

【知识考点】KP：直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质．

【思路分析】由菱形的性质得出AB＝4，由三角形中位线定理即可得出OE的长．

【解题过程】解：∵菱形ABCD的周长为16，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，OA＝OC，

∵OE∥AB，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE＝AB＝2，

故答案为：2．

【总结归纳】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．

16．不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是．

【知识考点】列表法与树状图法．

【思路分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解．

【解题过程】解：画树状图为：

共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2，

所以两次都摸到相同颜色的小球的概率＝＝．

故答案为．

【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．17．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝°．

【知识考点】圆周角定理．

【思路分析】如图，连接AD．证明∠1+∠2＝90°即可解决问题．

【解题过程】解：如图，连接AD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠1＝∠ADE，

∴∠1+∠2＝90°，

∵∠1＝55°，

∴∠2＝35°，

故答案为35．

【总结归纳】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝，点E 在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是．

【知识考点】含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．

【思路分析】如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．则DB′+B′J≥DH，求出DH，DB′即可解决问题．

【解题过程】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．

在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，AC＝8，∠A＝30°，

∴AB＝AC?cos30°＝4，

∵BD＝，

∴AD＝AB﹣BD＝3，

∵∠AHD＝90°，

∴DH＝AD＝，

∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB＝，

∴B′J≥DH﹣DB′，

∴B′J≥，

∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为，

故答案为．

【总结归纳】本题考查翻折变换，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．请将解答写在答题卡上对应的答题区域内．）

19．（6分）计算：（﹣3）0++（﹣3）2﹣4×．

【知识考点】零指数幂；二次根式的混合运算．

【思路分析】先根据零指数幂的意义计算，再进行乘方运算，然后化简后合并即可．

【解题过程】解：原式＝1+2+9﹣2

＝10．

【总结归纳】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根

式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

20．（6分）先化简，再计算：+，其中a＝2．

【知识考点】分式的化简求值．

【思路分析】先把分子分母因式分解，再约分得到同分母的加法运算，从而得到原式＝，然后把a的值代入计算即可．

【解题过程】解：原式＝+

＝+

＝，

当a＝2时，原式＝＝3．

【总结归纳】本题考查了分式的化简求值：把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，2）．

（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是．

（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是．

（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是．

（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是．

【知识考点】一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣平移；关于原点对称的点的坐标．

【思路分析】（1）根据“上加下减，左减右加”法则判断即可确定出B的坐标；

（2）根据关于原点对称的点的坐标特征判断即可；

（3）设反比例函数解析式为y＝，把B坐标代入确定出k，即可求出解析式；

（4）设一次函数解析式为y＝mx+n，把A与C坐标代入求出m与n的值，即可求出解析式．【解题过程】解：（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（2，3）；

（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是（1，﹣2）；

（3）设反比例函数解析式为y＝，

把B（2，3）代入得：k＝6，

∴反比例函数解析式为y＝；

（4）设一次函数解析式为y＝mx+n，

把A（﹣1，2）与C（1，﹣2）代入得：，

解得：，

则一次函数解析式为y＝﹣2x．

故答案为：（1）（2，3）；（2）（1，﹣2）；（3）y＝；（4）y＝﹣2x．

【总结归纳】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变换﹣平移，以及关于原点对称的点的坐标，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

22．（8分）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．

【知识考点】全等三角形的判定与性质．

【思路分析】（1）根据SAS可得出答案；

（2）在CE上截取CF＝DE，证明△ADE≌△BCF（SAS），可得出AE＝BF，∠AED＝∠CFB，则可得出BE＝BF．结论得证．

【解题过程】（1）证明：在△ACE和△BCE中，

∵，

∴△ACE≌△BCE（SAS）；

（2）AE＝BE．

理由如下：

在CE上截取CF＝DE，

在△ADE和△BCF中，

∵，

∴△ADE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，

∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，

∴∠BEF＝∠EFB，

∴BE＝BF，

∴AE＝BE．

【总结归纳】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

23．（8分）某校举行了主题为“防溺水，保安全”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了50名参赛学生的成绩进行相关统计，整理得尚未完整的频数分布表和扇形统计图．现累计了40名参赛学生的成绩，余下10名参赛学生的成绩尚未累计，这10名学生成绩如下（单位：分）：75，63，76，87，69，78，82，75，63，71．

频数分布表

组别分数段划记频数

A 60＜x≤70 正

B 70＜x≤80 正正

C 80＜x≤90 正正正正

D 90＜x≤100 正

（1）在频数分布表中补全各组划记和频数；

（2）求扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数；

（3）该校有2000名学生参加此次知识竞赛，估计成绩在80＜x≤100的学生有多少人？

【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图．

【思路分析】（1）用“划记”统计10名学生的成绩，并统计频数填入表格；

（2）B组人数占调查人数的，因此相应的圆心角度数为360°的；

（3）样本中，成绩在80～100的人数占调查人数的，因此估计总体2000人的是成绩在“80＜x≤100”人数．

【解题过程】解：（1）用“划记”统计10名学生的成绩，并统计频数填入表格；

故答案为：8，15，22，5；

（2）360°×＝108°，

答：扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数为108°；

（3）2000×＝1080（人），

答：该校2000名学生中，成绩在80＜x≤100的有1080人．

【总结归纳】本题考查频数分布表、扇形统计图，以及样本估计总体等知识，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确解答的前提．

24．（8分）某水果市场销售一种香蕉．甲店的香蕉价格为4元/kg；乙店的香蕉价格为5元/kg，若一次购买6kg以上，超过6kg部分的价格打7折．

（1）设购买香蕉xkg，付款金额y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式；

（2）到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．

【知识考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．

【思路分析】（1）根据题意列出函数关系式即可求出答案．

（2）根据函数关系以及x的取值范围即可列出不等式进行判断．

【解题过程】解：（1）甲商店：y＝4x

乙商店：y＝．

（2）当x＜6时，

此时甲商店比较省钱，

当x≥6时，

令4x＝30+3.5（x﹣6），

解得：x＝18，

此时甲乙商店的费用一样，

当x＜18时，

此时甲商店比较省钱，

当x＞18时，

此时乙商店比较省钱．

【总结归纳】本题考查一次函数，解题的关键是正确列出函数关系，本题属于中等题型．

25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．

【知识考点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质．

【思路分析】（1）由垂径定理可得OE⊥BD，BH＝DH，由平行线的性质可得OE⊥EF，可证EF 是⊙O的切线；

（2）由勾股定理可求BC的长，由面积法可求OH的长，由锐角三角函数可求BH的长，由平行线分线段成比例可求解．

【解题过程】证明：（1）连接OE，交BD于H，

∵点E是的中点，OE是半径，

∴OE⊥BD，BH＝DH，

∵EF∥BC，

∴OE⊥EF，

又∵OE是半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，

∴OB＝3，

∴BC＝＝＝，

∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OH，

∴OH＝＝，

∵cos∠OBC＝，

∴＝，

∴BH＝，

∴BD＝2BH＝，

∵CG∥OD，

∴，

∴＝，

∴CG＝．

【总结归纳】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线分线段成比例等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：

y＝a（x﹣p）（x﹣q），

＝ax2﹣a（p+q）x+apq．

（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；

（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．

【知识考点】二次函数综合题．

【思路分析】（1）结合题意，利用配方法解决问题即可．

（2）求出两个抛物线的顶点坐标，根据A，C，D三点在同一条直线上，构建方程求解即可．（3）求出两种特殊情形a的值，结合图象判断即可解决问题．

【解题过程】解：（1）由题意抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴y＝x2﹣6x+5，抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．

（2）如图1中，过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F．

由题意抛物线C1为y＝﹣（x+1）（x﹣m）＝﹣（x﹣）2+，∴C（，），

抛物线C2为y＝﹣（x﹣m）（x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，

∴D（，），

∵A，C，D共线，CE∥DF，

∴＝，

∴＝，

解得m＝，

经检验，m＝是分式方程的解，

∴m＝．

（3）如图2﹣1，当a＞0时，

设抛物线的解析式为y＝a（（x+1）（x﹣3），

当抛物线经过F（4，3）时，3＝a×5×1，

∴a＝，

观察图象可知当a≥时，满足条件．

如图2﹣2中，当a＜0时，顶点在线段EF上时，顶点为（1，3），

把（1，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得a＝﹣，

观察图象可知当a≤﹣时，满足条件，

综上所述，满足条件的a的范围为：a≥或a≤﹣．

【总结归纳】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常压轴题．