2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷(3)

2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷（3）一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）2020的相反数是（）
A．2020B．﹣2020C．1
2020D．−
1
2020
2．（3分）在全区“文明城市”创建过程中，小颖特别制作了一个正方体玩具，其展开图如图所示，则原正方体中与“文”字相对的字是（）
A．全B．城C．市D．明
3．（3分）下列计算中正确的是（）
A．a2+b3＝2a5B．a4÷a＝a4C．a2•a4＝a8D．（﹣a2）3＝﹣a6
4．（3分）如图，关于x的不等式x≥a−3
2的解集表示在数轴上，则a的值为（）
A．﹣1B．2C．1D．3
5．（3分）已知多边形的每个内角都是108°，则这个多边形是（）A．五边形B．七边形C．九边形D．不能确定6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
7．（3分）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西30°的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西30°的方向行驶50海里到达C地，则A、C两地相距（）
A ．100海里
B ．50√2海里
C ．50海里
D ．25海里
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y =k
x （k ＞0，x ＞0）的图象与等边三角形OAB 的边OA ，AB 分别交于点M ，N ，且OM ＝2MA ，若AB ＝3，那么点N 的横坐标为（ ）
A ．3
2
B ．
3+√52
C ．4
D ．6
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9．（3分）因式分解：4x 2y ﹣9y 3＝ ．
10．（3分）用反证法证明命题“若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 的外部”，首先应假设 ．
11．（3分）关于x 的一元二次方程x 2+k ＝0有实数根，则实数k 的取值范围为 ． 12．（3分）一次函数y ＝kx +6的图象与两坐标围成的三角形面积为9，那么这个一次函数的表达式为 ．
13．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，点B 、C 的对应点分别为点B '、C ′，AB ′与BC 相交于点D ，当B ′C ′∥AB 时，则CD ＝ ．
14．（3分）某数学兴趣小组研究二次函数y =−1
2ax 2+2ax +3(a ≠0)的图象发现，随着a
的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：．
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）计算：（a+b（a﹣b）+（2a﹣b）2
16．（6分）体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．
（1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的概率是多少
（2）如果从小明开始踢，经过踢三次后，球踢到了小明处的概率．
17．（6分）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？
18．（7分）如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．
（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？
19．（7分）河西中学九年级共有9个班，300名学生，学校要对该年级学生数学学科学业水平测试成绩进行抽样分析，请按要求回答下列问题：
收集数据
（1）若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是．
①在九年级学生中随机抽取36名学生的成绩；
②按男、女各随机抽取18名学生的成绩；
③按班级在每个班各随机抽取4名学生的成绩．
整理数据
（2）将抽取的36名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图如下．请根据图表中数据填空：
①C类和D类部分的圆心角度数分别为°、°；
②估计九年级A、B类学生一共有名．
成绩（单位：分）频数频率
A类（80～100）181
2
B类（60～79）91
4
C类（40～59）61
6
D类（0～39）31
12
分析数据
（3）教育主管部门为了解学校教学情况，将河西、复兴两所中学的抽样数据进行对比，得下表：
学校平均数（分）极差（分）方差A、B类的频率和
河西中学71524320.75
复兴中学71804970.82
你认为哪所学校本次测试成绩较好，请说明理由．
20．（7分）我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直
角边等于斜边的一半”，其逆命题也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角为30°”．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果
AC=1
2AB，那么∠B＝30°．
请你根据上述命题，解决下面的问题：
（1）如图1，A，B为格点，以A为圆心，AB长为半径画弧交直线l于点C，则∠CAB ＝°；
（2）如图2，D、F为格点，按要求在网格中作图（保留作图痕迹）．作Rt△DEF，使点E在直线l上，并且∠DEF＝90°，∠EDF＝15°；
（3）如图3，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，AD＝AC，CE
⊥AD于E，且CE=1
2AC
①求∠BAD的度数；
②求证：BD＝CD．
21．（8分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止．甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙．
（2）求m的值．
（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇．
22．（9分）如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．
①线段DG与BE之间的数量关系是；
②直线DG与直线BE之间的位置关系是；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．
23．（10分）如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A向终点B运动，过点P作PF⊥AC于点F，以AF，AP为邻边作▱F APG；
▱F APG与等腰直角△ABC的重叠部分面积为S（平方单位），S＞0，点P的运动时间为t 秒．
（1）直接写出点G落在BC边上时的t值．
（2）求S与t的函数关系式．
（3）直接写出点G分别落在△ABC三边的垂直平分线上时的t值．
24．（12分）如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相交于A、D两点．抛物线的顶点为C，连结AC．
（1）求A，D两点的坐标；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点A、D不重合），连接P A、PD．
①当点P的横坐标为2时，求△P AD的面积；
②当∠PDA＝∠CAD时，直接写出点P的坐标．
2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）2020的相反数是（）
A．2020B．﹣2020C．1
2020D．−
1
2020
【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：B．
2．（3分）在全区“文明城市”创建过程中，小颖特别制作了一个正方体玩具，其展开图如图所示，则原正方体中与“文”字相对的字是（）
A．全B．城C．市D．明
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“全”与“市”相对，“文”与“城”相对，“明”与“国”相对，
故选：B．
3．（3分）下列计算中正确的是（）
A．a2+b3＝2a5B．a4÷a＝a4C．a2•a4＝a8D．（﹣a2）3＝﹣a6【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C错误；
D、积的乘方等于乘方的积，故D正确；
故选：D．
4．（3分）如图，关于x的不等式x≥a−3
2的解集表示在数轴上，则a的值为（）
A．﹣1B．2C．1D．3
【解答】解：∵不等式x≥a−3
2的解集表示在数轴上为：x≥﹣1，
故
a−32
=−1，
解得：a ＝1． 故选：C ．
5．（3分）已知多边形的每个内角都是108°，则这个多边形是（ ） A ．五边形
B ．七边形
C ．九边形
D ．不能确定
【解答】解：∵多边形的每个内角都是108°， ∴每个外角是180°﹣108°＝72°， ∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5， ∴这个多边形是五边形， 故选：A ．
6．（3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的大小为（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．80°
D ．100°
【解答】解：∵OB ＝OC
∴∠BOC ＝180°﹣2∠OCB ＝100°， ∴由圆周角定理可知：∠A =1
2∠BOC ＝50° 故选：B ．
7．（3分）一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西30°的方向行驶50海里到达B 地，再由B 地向北偏西30°的方向行驶50海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）
A ．100海里
B ．50√2海里
C ．50海里
D ．25海里
【解答】解：∵由海平面上A 地出发向南偏西30°的方向行驶50海里到达B 地，再由B
地向北偏西30°的方向行驶50海里到达C 地， ∴∠ABC ＝60°，AB ＝BC ＝50海里， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC ＝AB ＝50海里， 故选：C ．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y =k
x
（k ＞0，x ＞0）的图象与等边三角形OAB 的边OA ，AB 分别交于点M ，N ，且OM ＝2MA ，若AB ＝3，那么点N 的横坐标为（ ）
A ．3
2
B ．
3+√52
C ．4
D ．6
【解答】解：过点N 、M 分别作NC ⊥OB ，MD ⊥OB ，垂足为C 、D ， ∵△AOB 是等边三角形，
∴AB ＝OA ＝OB ＝3，∠AOB ＝60° ∵又OM ＝2MA ， ∴OM ＝2，MA ＝1， 在Rt △MOD 中，
OD =1
2OM ＝1，MD =√22−12=√3， ∴M （1，√3）；
∴反比例函数的关系式为：y =√3
x ， 设OC ＝a ，则BC ＝3﹣a ，NC =√3a
，
在Rt △BCN 中， NC =√3BC ， ∴
√3
a
=√3（3﹣a ）
， 解得：x =
3+√52，x =3−√52
（舍去），
∴点N 的横坐标为3+√5
2
， 故选：B ．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）因式分解：4x 2y ﹣9y 3＝ y （2x +3y ）（2x ﹣3y ） ． 【解答】解：原式＝y （4x 2﹣9y 2）＝y （2x +3y ）（2x ﹣3y ）， 故答案为：y （2x +3y ）（2x ﹣3y ）
10．（3分）用反证法证明命题“若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 的外部”，首先应假设 若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 上或⊙O 内 ．
【解答】解：用反证法证明命题“若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 的外部”，
首先应假设：若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 上或⊙O 内．
故答案为：若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 上或⊙O 内．
11．（3分）关于x 的一元二次方程x 2+k ＝0有实数根，则实数k 的取值范围为 k ≤0 ． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+k ＝0有实数根， ∴△＝02﹣4×1×k ≥0， 解得：k ≤0， 故答案为：k ≤0．
12．（3分）一次函数y ＝kx +6的图象与两坐标围成的三角形面积为9，那么这个一次函数的表达式为 y ＝±2x +6 ．
【解答】解：一次函数y ＝kx +6与x 轴的交点为（−6
k ，0），与y 轴的交点为（0，6）． ∵y ＝kx +6和两坐标轴围成的三角形的面积是9，
∴1
2
×6×|−6k
|＝9，
∴k ＝±2，．
所以解析式为：y ＝±2x +6． 故答案为：y ＝±2x +6．
13．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，点B 、C 的对应点分别为点B '、C ′，AB ′与BC 相交于点D ，当B ′C ′∥AB 时，则CD ＝
74
．
【解答】解：设CD ＝x ， ∵B ′C ′∥AB ， ∴∠BAD ＝∠B ′，
由旋转的性质得：∠B ＝∠B ′，AC ＝AC ′＝6， ∴∠BAD ＝∠B ， ∴AD ＝BD ＝8﹣x ， ∴（8﹣x ）2＝x 2+62， ∴x =7
4
， ∴CD =74， 故答案为：74．
14．（3分）某数学兴趣小组研究二次函数y =−1
2
ax 2+2ax +3(a ≠0)的图象发现，随着a 的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标： （0，3），（4，3） ． 【解答】解：∵y =−12ax 2+2ax +3=−1
2ax （x ﹣4）+3， 当x ＝0或x ﹣4＝0时函数值与a 值无关， ∵当x ＝0时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝3，
∴两定点坐标为：（0，3），（4，3）， 故答案为：（0，3），（4，3）． 三．解答题（共10小题，满分78分） 15．（6分）计算：（a +b （a ﹣b ）+（2a ﹣b ）2 【解答】解：原式＝a 2﹣b 2+4a 2﹣4ab +b 2 ＝5a 2﹣4ab
16．（6分）体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．
（1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的概率是多少
（2）如果从小明开始踢，经过踢三次后，球踢到了小明处的概率． 【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，经过两次踢后，足球踢到了小华处的有1种情况， ∴足球踢到了小华处的概率是：1
4；
（2）画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，经过踢三次后，球踢到了小明处的有2种情况， ∴经过踢三次后，球踢到了小明处的概率为：2
8
=1
4．
17．（6分）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数
是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x 天，则甲队单独施工需要x 天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工， 依题意，得：
15+5x
+
151.5x
=1，
解得：x ＝30，
经检验，x ＝30是原方程的解，且符合题意． 答：这项工程的规定时间是30天．
（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工， 1÷（
130
+
1
45
）＝18（天）．
答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．
18．（7分）如图，点M 是矩形ABCD 的边AD 的中点，点P 是BC 边上一动点，PE ⊥MC ，PF ⊥BM ，垂足为E 、F ．
（1）当矩形ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF 为矩形？猜想并证明你的结论．
（2）在（1）中，当点P 运动到什么位置时，矩形PEMF 变为正方形，为什么？
【解答】（1）解：当AD ＝2AB 时，四边形PEMF 为矩形． 证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠A ＝∠D ＝90°，
∵AD ＝2AB ＝2CD ，AM ＝DM =1
2AD ， ∴AB ＝AM ＝DM ＝CD ，
∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°，∠DCM ＝∠DMC ＝45°， ∴∠BMC ＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∵PE ⊥MC ，PF ⊥BM ， ∴∠MEP ＝∠FPE ＝90°， ∴四边形PEMF 为矩形，
即当AD ＝2AB 时，四边形PEMF 为矩形．
（2）解：当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形． 理由是：∵四边形PEMF 为矩形， ∴∠PFM ＝∠PFB ＝∠PEC ＝90°， 在△BFP 和△CEP 中 {∠FBP =∠ECP
∠PFB =∠PEC BP =CP
， ∴△BFP ≌△CEP （AAS ）， ∴PE ＝PF ，
∵四边形PEMF 是矩形， ∴矩形PEMF 是正方形，
即当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形．
19．（7分）河西中学九年级共有9个班，300名学生，学校要对该年级学生数学学科学业水平测试成绩进行抽样分析，请按要求回答下列问题： 收集数据
（1）若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是 ① ． ①在九年级学生中随机抽取36名学生的成绩； ②按男、女各随机抽取18名学生的成绩； ③按班级在每个班各随机抽取4名学生的成绩． 整理数据
（2）将抽取的36名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图如下．请根据图表中数据填空：
①C 类和D 类部分的圆心角度数分别为 60 °、 30 °； ②估计九年级A 、B 类学生一共有 225 名．
成绩（单位：分） 频数 频率
A 类（80～100） 18 12
B 类（60～79） 9 14
C 类（40～59） 6 16
D 类（0～39） 3
1
12
分析数据
（3）教育主管部门为了解学校教学情况，将河西、复兴两所中学的抽样数据进行对比，得下表：
学校 平均数（分） 极差（分）
方差 A 、B 类的频率和
河西中学 71 52 432 0.75 复兴中学
71
80
497
0.82
你认为哪所学校本次测试成绩较好，请说明理由．
【解答】解：（1）若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是：①在九年级学生中随机抽取36名学生的成绩， 故答案为：①；
（2）①C 类部分的圆心角度数为360°×1
6=60°，D 类部分的圆心角度数为360°×1
12=30°，
故答案为：60°，30°；
②估计九年级A 、B 类学生一共有300×（12
+1
4
）＝225，
故答案为：225；
（3）选择河西中学，理由是平均分相同，河西中学极差和方差较小，河西中学成绩更稳定．
选择复兴中学，理由是平均分相同，复兴中学A，B类频率和高，复兴中学高分人数更多．20．（7分）我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，其逆命题也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角为30°”．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果
AC=1
2AB，那么∠B＝30°．
请你根据上述命题，解决下面的问题：
（1）如图1，A，B为格点，以A为圆心，AB长为半径画弧交直线l于点C，则∠CAB ＝30°；
（2）如图2，D、F为格点，按要求在网格中作图（保留作图痕迹）．作Rt△DEF，使点E在直线l上，并且∠DEF＝90°，∠EDF＝15°；
（3）如图3，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，AD＝AC，CE
⊥AD于E，且CE=1
2AC
①求∠BAD的度数；
②求证：BD＝CD．
【解答】解：（1）如图1中，作CF⊥AB于F．由作图可知：AC＝AB＝2CF，
∴∠CAB＝30°，
故答案为30．
（2）如图△DEF即为所求．
（3）①∵CE⊥AD于E，且CE=1
2AC
∴∠CAD＝30°
②作DH⊥BC于H．
∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°
∴∠ACE＝60°，
∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∴∠DCF＝∠DCH＝15°，
∵∠CED＝∠CHD＝90°，CD＝CD，∴△CDE≌△CDH（AAS），
∴CE＝CH=1
2AC=
1
2BC，
∴BH ＝CH ，∵DH ⊥BC ， ∴DB ＝DC ．
21．（8分）甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止．甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B 地行驶，两车之间的路程y （千米）与出发后所用时间x （小时）之间的函数关系如图所示．
（1）求甲、乙两车行驶的速度V 甲、V 乙． （2）求m 的值．
（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇．
【解答】解：（1）由图可得， {0.5(v 甲+v 乙)=180−110(1.5−0.5)v 甲+1.5v 乙=180， 解得，{v 甲=60
v 乙=80
，
答：甲的速度是60km /h 乙的速度是80km /h ； （2）m ＝（1.5﹣1）×（60+80）＝0.5×140＝70， 即m 的值是70；
（3）甲车没有故障停车，则甲乙相遇所用的时间为：180÷（60+80）=9
7， 若甲车没有故障停车，则可以提前：1.5−9
7=3
14（小时）两车相遇， 即若甲车没有故障停车，可以提前
314
小时两车相遇．
22．（9分）如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．
（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示． ①线段DG 与BE 之间的数量关系是 DG ＝BE ； ②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 DG ⊥BE ；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）．
【解答】解：（1）①如图②中，
∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AE ＝AG ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAG ＝90°， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ABE 和△DAG 中， {AB =AD
∠BAE =∠DAG AE =AG
， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴BE ＝DG ；
②如图2，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ． 由①知，△ABE ≌△DAG ， ∴∠ABE ＝∠ADG ，
∵∠ATB+∠ABE＝90°，
∴∠ATB+∠ADG＝90°，
∵∠ATB＝∠DTH，
∴∠DTH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴AB
AD =
AE
AG
=
1
2
，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，BE
DG =
1 2
，
∴DG＝2BE，
∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，
∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，
∴BE ⊥DG ；
（3）如图④中，作ET ⊥AD 于T ，GH ⊥BA 交BA 的延长线于H ．设ET ＝x ，AT ＝y ．
∵△AHG ∽△ATE ，
∴GH ET =AH AT =AG AE =2，
∴GH ＝2x ，AH ＝2y ，
∴4x 2+4y 2＝4，
∴x 2+y 2＝1，
∴BG 2+DE 2＝（2x ）2+（2y +2）2+x 2+（4﹣y ）2＝5x 2+5y 2+20＝25．
23．（10分）如图，在等腰直角△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝8．动点P 以每秒2个单
位长度的速度从点A 向终点B 运动，过点P 作PF ⊥AC 于点F ，以AF ，AP 为邻边作▱F APG ；▱F APG 与等腰直角△ABC 的重叠部分面积为S （平方单位），S ＞0，点P 的运动时间为t 秒．
（1）直接写出点G 落在BC 边上时的t 值．
（2）求S 与t 的函数关系式．
（3）直接写出点G 分别落在△ABC 三边的垂直平分线上时的t 值．
【解答】解：（1）如图1中，
∵BA＝BC，∠B＝90°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵PF⊥AC，
∴∠AFP＝90°，
∴∠A＝∠APF＝45°，
∵四边形APGF是平行四边形，∴PG∥AC，AF＝PF＝PG，
∴∠BPG＝∠A＝45°，
∵P A＝2t，
∴AF＝FP＝PG=√2t，
∴PB＝BG＝t，
∵P A+PB＝AB＝8，
∴3t＝8，
∴t=8 3，
∴当t=8
3时，点G落在BC上．
（2）①如图2﹣1中，当0＜t≤8
3时，重叠部分是平行四边形APGF，S=√2t×√2t＝2t
2
②如图2﹣2中，当83＜t ≤4时，重叠部分是五边形APMNF ，S ＝S 平行四边形APGF ﹣S △MNG ＝2t 2−12×（3t ﹣8）2=−52
t 2+24t ﹣32．
综上所述，S {2t 2(0＜t ≤83)−52t 2+24t −32(83＜t ≤4)
．
（3）如图3﹣1中，当点G 落在AB 的中垂线上时，AM ＝BM ＝4，可得2t +t ＝4，解得t =43．
如图3﹣2中，当点G 落在AC 的中垂线上时，AP ＝PB ，此时t ＝2．
如图3﹣3中，当点G 落在AB 的中垂线上时，点P 与B 重合，此时t ＝4．
综上所述，满足条件的t 的值为43或2或4． 24．（12分）如图，直线y ＝x ﹣1与抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5相交于A 、D 两点．抛物线的顶
点为C ，连结AC ．
（1）求A ，D 两点的坐标；
（2）点P 为该抛物线上一动点（与点A 、D 不重合），连接P A 、PD ．
①当点P 的横坐标为2时，求△P AD 的面积；
②当∠PDA ＝∠CAD 时，直接写出点P 的坐标．
【解答】解：（1）联立方程组{y =x −1y =−x 2+6x −5
， 解得，{x 1=1y 1=0，{x 2=4y 2=3
， ∴A （1，0），D （4，3），
（2）①过P 作PE ⊥x 轴，与AD 相交于点E ，
∵点P 的横坐标为2，
∴P （2，3），E （2，1），
∴PE ＝3﹣1＝2，
∴S △P AD =12PE （x D ﹣x A ）=12×2×（4﹣1）＝3；
②过点D 作DP ∥AC ，与抛物线交于点P ，则∠PDA ＝∠CAD ，
∵y ＝﹣x 2+6x ﹣5＝﹣（x ﹣3）2+4，
∴C （3，4），
设AC 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0），
∵A （1，0），
∴{k +b =03k +b =4
， ∴{k =2b =−2
， ∴AC 的解析式为：y ＝2x ﹣2，
设DP 的解析式为：y ＝2x +n ，
把D （4，3）代入，得3＝8+n ，
∴n ＝﹣5，
∴DP 的解析式为：y ＝2x ﹣5，
联立方程组{y =2x −5y =−x 2+6x −5
， 解得，{x 1=0y 1
=−5，{x 2=4y 2=3， ∴此时P （0，﹣5），
当P 点在直线AD 上方时，延长DP ，与y 轴交于点F ，过F 作FG ∥AC ，FG 与AD 交于点G ，
则∠FGD ＝∠CAD ＝∠PDA ， ∴FG ＝FD ，
设F （0，m ），
∵AC 的解析式为：y ＝2x ﹣2， ∴FG 的解析式为：y ＝2x +m ，
联立方程组{y =2x +m y =x −1
， 解得，{x =−m −1y =−m −2
， ∴G （﹣m ﹣1，﹣m ﹣2），
∴FG =√(m 2+(2m +2)2FD =√162， ∵FG ＝FD ，
∴√(m +1)2+(2m +2)2=√16+(m −3)2， ∴m ＝﹣5或1，
∵F 在AD 上方，
∴m ＞﹣1，
∴m ＝1，
∴F （0，1），
设DF 的解析式为：y ＝qx +1（q ≠0）， 把D （4，3）代入，得4q +1＝3， ∴q =12，
∴DF 的解析式为：y =12x +1，
联立方程组{y =12x +1
y =−x 2+6x −5
∴{x 1=4y 1=3，{x 2=32y 2=74
， ∴此时P 点的坐标为(32，74)， 综上，P 点的坐标为（0，﹣5）或(32，74
)．。