高中物理奥赛之热学—1.5理想气体的内能

§1.5 理想气体的内能

1．5．1、物体的内能

(1)自由度：即确定一个物体的位置所需要的独立坐标系数，如自由运动的质点，需要用三个独立坐标来描述其运动，故它有三个自由度。

分子可以有不同的组成。如一个分子仅由一个原子组成，称为单原子(例：He等)，显然它在空间运动时具有三个平动自由度。

如一个分子由两个原子组成，称为双原子(例：2

H等)，双原子分子内的两个原子由一个键所连接，确定两个原子共同质心的位置，需三个自由度，确定连键的位置，需两个自由度，即双原子分子共有五个自由度。而对三原子分子(例：2

CO等)，除了具有三个平动自由度、两个转动自由度外，还有一个振动自由度，即共计有六个自由度。

(2)物体中所有分子热运动的动能和分子势能的总和称为物体的内能。由于分子热运动的平均动能跟温度有关，分子势能跟体积有关。因此物体的内能是温度和体积的函数。

理想气体的分子之间没有相互作用，不存在分子势能。因此理想气体的内能是气体所有分子热运动动能的总和，它只跟气体的分子数和温度有关，与体积无关。

1．5．2、理想气体的内能

通常，分子的无规则运动表现为分子的平动和转动等形式。对于单原子分子(如He等)的理想气体来说，分子只有平动动能，其内能应是分子数与分子平均

平动动能的乘积，即

kT

N

E

2

3

⋅

=

。对于双原子分子(如2

N、

2

O)的理想气体来说，

在常温下，分子运动除平动外还可以有转动，分子的平均动能为kT

25，其内能kT

N E 25⋅=，因此，理想气体的内能可以表达为

PV

i

RT M mi kT i N E 222==⋅=

注意：M m N N A //=，k N R A =；对于原单原子分子气体3=i ，对于双原子分子气体5=i 。

一定质量的理想气体的内能改变量：

T C M n T R i M m E V ∆=∆=

∆)2(

此式适用于一定质量理想气体的各种过程。不论过程如何，一定质量理想

气体的内能变不变就看它的温度变不变。式中

R

i

C V 2=

，表示1mol 的理想气体温度升高或降低1K 所增加或减少的内能。

T C M n

E V ∆=

∆是可以变成

)(2)(21122V P V P i

PV i E -=∆=

∆

1．5．3、物体的势能

由于分子间存在相互作用而具有的能量叫做分子势能。当分子间距离0r r φ(0r 为分子力为零的位置)时，分子力是引力，随着分子间距离r 的增大，分子势能减小，故0r r =处，分子势能最小。而在010r r >时，由于分子间的作用力可略，故分子势能变为零，如以

无穷远处为势能的零点，定性的分子势能曲线可用图1-5-1表示

1．5．4、重力场中粒子按高度的分布

在重力场中，气体分子受到两种相互对立的作用。

无规则的热运动将使气体

图1-5-1

分子均匀分布于它们所能到达的空间，而重力则要使气体分子聚拢在地面上，当这两种作用达到平衡时，气体分子在空间非均匀分布，分子数随高度减小。根据玻尔兹曼分布律，可以确定气体分子在重力场中按高度分布的规律：

kT

h

mg e

n n •-

=0

0n 是h=0处单位体积内的分子数，n 是高度为h 处单位体积内的分子数，n

随高度h 的增加按指数减小，分子的质量m 越大，重力的作用越显著，n 的减小就越迅速，气体的温度越高，分子的无规则运动越剧烈，n 的减小越缓慢。

kT

mgh kT

h mg kT

h mg e

p e

p kTe

n nkT p -⋅-⋅-

====000

式中kT n p 00=表示h=0处的压强，M 为气体的摩尔质量，上式称为气压公式

p p Mg RT

h 0ln =

因此测定大气压强随高度而减小的量值，即可确定上升的高度。该式不但适用于地面的大气，还适用于浮悬在液体中的胶体微粒按高度的分布。

例1、横截面积为S 和αS (α＞1)，长度相同的两圆柱形“对接”的容器内盛有理想气体，每个圆筒中间位置有一个用硬杆想连的活塞，如图1-5-2所示。这时舱Ⅰ内气体压强为1p ，舱Ⅲ内气体压强为1p β，活塞处于平衡，整个系统吸收热量Q ，温度上升，使各舱温度相同。试求舱Ⅰ内压强的变化。1mol 气体内能为CT (C 是气体摩尔热容量)，圆筒和活塞的热容量很小，摩擦不计。

解：设i V 、i p 、i r 分别为第i 个舱内气体的体积、

压强的摩尔数。容器内气体总摩尔数

图1-5-2

321γγγγ++=，因为各舱温度皆为T ，利用克拉珀龙方程得

RT

RT V p V p V p γγγγ=++=++)(32132211 ①

取得中打斜线的活塞与硬杆为研究对象，由平衡条件得

S p p aS p p )()(2123-=- ②

而由题意 13p p β= ③

及 S l V 21=

、)(22aS S l V +=、

lS a V 23= 得

)1()

1(21-βα-αγ=

Sl TR p ④

系统吸收热量后，假设活塞不移动，显然Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ舱气体都作等容升温变化，因题中明确三舱升高的温度相同，因而由

C T P =

可知三舱气体的压强都增加相同的倍数，即方程②仍然满足，这说明升温过程中活塞确实不移动，即方程④也仍然成立。

因 T C Q ∆=γ 结合④式易得Ⅰ舱内气体压强的变化

)1()

1(21--=

∆βααCSl QR p 。

说明利用②式和③式可得

111

2--=ααβp p

显然只有当αβ＞1时才有意义。因为压强必须为正值。