函数单调性与导数

( xn )’ = _____; (cosx)’=_____; ( ex )’= ______; (lnx)’=_______.
观察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的
函数 h(t)4.9t26.5t1的0图象, 图(2)表示高台跳水运
动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t)4.9t6.5的图象.
大家好
导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
二、复习引入:
函数单调性判定
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
即 x1 17或 x117 时，
2
2
函数单调递增；
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,)
解： f (x) =cosx-1<0
y
从而函数f(x)=sinx-x o
x
在x∈(0,)单调递减，
见右图。
f (x) sin x x
(4)判定函数 y=ex-x+1 的单调区间. 递增区间为(0,+∞) 递减区间为(-∞,0)
解题小结：如何用导数判断单调性、求单调 区间？
用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）确定函数f(x)的定义域
（2）求出函数f(x)的导函数 （3）在定义域内求解不等式f ′(x)>0，求得其解
集，再根据解集写出单调递增区间
（4）在定义域内求解不等式f ′(x)<0，求得其解
集，再根据解集写出单调递减区间
注：单调区间不以“并集”出现。
3．用导数证明函数在某个区间上的单调性
例3 求证函数f(x)=x+ 1 （0， 1 ）为单
调减函数.
x
y
1 fx) = x+ x
2
-1 O 1
x
-2
4．已知函数单调性求参数的取值范围
例4：已知a>0,函数f(x)=x3-ax在x>=1时是单 调递增函数。求a的取值范围
4．函数 f(x)2x2ln2x的单调递增区间是____
5.已知函数f(x)=2ax-x3(a>0),若f(x)在（0,1）上 是增函数，求a的取值范围
▪ f′(x) >0是f(x)为增函数的
条件；
▪ f′(x)≥0是f(x)为增函数的
条件．
▪ 即若在某个区间上有有限个点使得f'(x)=0, 而在其余的点恒有f'(x)>0(或f'(x)<0),则该 函数在该区间上仍为增函数（减函数）
2．应用导数信息确定函数大致图像
例2、已知导函数 f '( x ) 的下列信息： 当1<x<4时，f '( x ) >0;
2.观察下面四个函数的图象，探讨函数的单调性与其导 函数正负的关系.
新知1函数的单调性与其导函数的正负关系：
设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数，如果在 这个区间内f′(x) >0，那么y=f(x)为这个区间内的增 函数；如果在这个区间内f′(x) <0，那么y=f(x)为这
个区间内的减函数. 如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数
探究二:下列命题正确吗? (用I表示某个区间) (1)函数y=f(x)在区间I内单调增 不能 f′(x) >0
(1)函数y=f(x)在区间I内单调增
f′(x) ≥0
(2)在区间I内f′(x) ≥ 0 不能 函数y=f(x)在I内单调增
新知2：如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x) 为 函数
单调函数的图象特征
G=(a,b)
y
y
减函 数
增函 数
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
G 称为单调区间
2：常见函数的导数：
C’ = ______; (sinx)’=_____; ( ax )’= ______; (logax)’=_____;
2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为(
则a的取值范围为( A )
(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1
3 , 3 )， 33
(D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( B )
(A) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) (C) 部分单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
所f'以 (x)3x2a0对任 x [1,意 ) 恒成立。
所以 a， 3x2对任 x[意 1, )恒成立；
又 3x23,x[1, ),
所0以 a3
分层训练
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( A )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）f(x)=x3+3x ; （2） f(x)2x33x224x1
．
（3） f(x)sinxx,x (0,源自文库 (4)y=ex-x+1
(2) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
解： f (x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4)
当 f (x) >0，
分析：由题目可获得以下主要信息：
（ 1 ） .a 0 ； 2 ） .当 x （ [ 1 ,) 时 f'(x ) ， 0
所以本题转 可化 f以 '(x) 为 0 先 ,对 x 把 [1,问 ) 恒题 成立的解 问 a的题 值，然后求
解：f'因 (x)3 为 x2a,且[1 在 , )上是增函数
当x>4,或x<1时，f '( x ) <0;
当x=4,或x=1时，f '( x ) =0.则函数f(x)图象的大致
形状是( D ）。
y
y f (x)
y
y
y f (x) y f (x)
y
y f (x)
o1 4 x o 1 4 x o1 4 x o 1 4 x
A
B
C
D
导函数f’(x)的-正---负--与原函数f(x)的增减性有关
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时
间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到 h
最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,
v
(1)
(2)
t
Oa
b
即h(t)是增函数.相应
地,v(t)h(t)0.
t
Oa
b
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的 增加而减少,即h(t)是减函数.相应地, v(t)h(t)0.