二项式定理与多项式定理

人分得的本数，我们称之为固定分组问题．我们将这个问题
总结成如下一般定理：
定理 1 将 n 个不同的元素分成带有编号从 1， 2，…， r
的 r 个组：A1 ，A2， ，Ar ，使得 A1 有 n1 个元素， A2 有 n2 个元素，…，
Ar 有 nr 个元素， n1 n2
nr n ，则不同的分组方法共有
解 （ 1）先从 12 本书中选取 3 本分给甲，有 C132 种方法； 当甲分得 3 本书后，从剩下的 9 本书中选取 3 本分给乙，有
C
Fra Baidu bibliotek3 9
种方法；类似可得
, 丙、丁的分法分别有
、 C
3 6
C
3 3
种,
由乘法
原理得所求分法共有
C132
C
3 9
C
3 6
C
3 3
=
(
12! 3! )4
=369600
《高中数学研究性学习案例》
分组问题 二项式定理 多项式定理
1．固定分组问题
例 1 将 12 本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4 位学生，
求分别满足下列条件的分配方法各有多少种：
（1） 4 位学生每人 3 本；
（2）甲、乙各得 4 本，丙、丁各得 2 本；
（3）甲得 5 本，乙得 4 本，丙得 2 本，丁得 1 本．
4 个白球，同色球不加区分， 将这 9 个球排成一列有
种
… = 种．证毕． C C n1
n2
n
n n1
C nr nr
n! n1! n2! nr !
我们将定理 1 的分配问题简称为（ n；n1，n2， ，nr ）固定 分组问题．
2．不尽相异元素的全排列 多项式定理
固定分组数
n!
有多种组合学意义， 除了表示固定
n1! n2 ! nr !
分组的方法数外，它还有以下两种表示意义：
n!
种．
n1! n2! n r !
证明 先从 n 个不同的元素中选取 n1 个分给 A1 ，这一步
有
C n1 n
种方法；再从剩下的
n n1 个元素中选取 n2 个分给 A2 ，这
一步有
C
n2 n
n1
种方法；如此继续下去，最后剩下的
n r 个元素分
给
Ar
，有
C nr nr
种方法，
由乘法原理得这样的固定分组方法共有
种；
（ 2）与（ 1）的解法类似可得所求分配方法种数为
= C142
C
4 8
C
42C
2 2
12!
=207900；
4! 4! 2! 2!
（ 3）与（ 1）的解法类似可得所求分配方法种数为
= C152
C
4 7
C
32C
1 1
12!
=83160．
5! 4! 2! 1!
在例 1 中是将不同的书分给不同的学生，并且指定了每
（1） 不尽相异元素的全排列种数
n! n1! n2 ! nr !
有 r 类元素，其中第 k 类元素有 nk 个（ k=1， 2，…， r ），
同类元素不加区分，不同类元素互不相同，
n1 n2
nr n 。
则这 r 类 n 个不尽相异元素的全排列种数等于固定分组数
n! 。．
n1!n 2! nr !
例 2 （ 06 年高考江苏卷 （理））今有 2 个红球、 3 个黄球、