重庆市万州分水中学高中数学《1.3.3函数的最大(小)值与导数》导学案 新人教A版选修2-2

重庆市万州分水中学高中数学《1.3.3函数的最大(小)值与导数》导学案 新人教A

版选修2-2

学习目标 ⒈理解函数的最大值和最小值的概念；

⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.

学习过程

一、课前准备

复习1：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值

复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-，（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1x =±时函数有极大值还是极小值，并说明理由.

二、新课导学

学习探究

探究任务一：函数的最大（小）值

问题：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？

在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；

在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .

新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. 试试：

上图的极大值点 ，为极小值点为 ；

最大值为 ，最小值为 .

反思：

1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 图1 图2

条件

3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.

典型例题

例1 求函数31()443

f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.

小结：求最值的步骤

（1）求()f x 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.

例2 已知23()log x ax b f x x

++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1；

若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.

变式：设213a <<，函数323()2

f x x ax b =-+在区间[1,1]-上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式.

小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．

动手试试

练1. 求函数3()3,[1,2]f x x x x =-∈的最值．

练2. 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-.（1）求实数a 的值；（2）求()f x 在[2,2]-上的最大值．

三、总结提升

学习小结

设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；

⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.

知识拓展

利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令()0f x '=得到方程的根1x ，2x ， ，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.

学习评价

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -的值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．18

D ．20

2. 函数32()3(1)f x x x x =-< （ ）

A ．有最大值但无最小值

B．有最大值也有最小值C．无最大值也无最小值D．无最大值但有最小值

3. 已知函数223

y x x

=--+在区间[,2]

a上的最大值为15

4

，则a等于（）

A．

3

2

- B．

1

2

C．

1

2

- D．

1

2

或

3

2

-

4. 函数y x

=-[0,4]上的最大值为

5. 已知32

()26

f x x x m

=-+（m为常数）在[2,2]

-上有最大值，那么此函数在[2,2]

-上的最小值是

课后作业

1. a为常数，求函数3

()3(01)

f x x ax x

=-+≤≤的最大值.

2. 已知函数32

()39

f x x x x a

=-+++，（1）求()

f x的单调区间；（2）若()

f x在区间[2,2]

-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.