(0346)《初等数论》复习思考题 (1)

（0346）《初等数论》复习思考题
1． 一个不等于1的自然数，分别去除967，1000，2001得到相同的余数。

试求这个自然数。

2． 求证：不可能存在两个质数p 1，p 2，使得p 1 + p 2 = 111…1(20位数)。

3． 如果p 和p + 2都是大于3的质数，求证6 | p + 1。

4． 设m , n 为整数，求证m +n , m -n 与mn 中一定有一个是3的倍数。

5． 证明：两个奇数的平方差是8的倍数。

6．已知p 为偶数，q 为奇数。

方程组⎩
⎨⎧=+=-q y x p y x 39918的解是整数，那么（ ）。

A. x 是奇数，y 是偶数 B. x 是偶数，y 是奇数
C. x 是偶数，y 是偶数
D. x 是奇数，y 是奇数
7． 求1980的标准分解式。

8． 求792与594的最大公因数。

9． 求2001！中末尾0的个数。

10．求不定方程10x -7y =17的一切整数解。

11．求不定方程15x +10y +6z =61的一切整数解。

12．袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是 43，问：小明最多摸出标有数字2的球多少个？
13．下列结论是否成立。

A. 若a 2≡b 2(mod m )，则a ≡b (mod m )。

B. 若a 2≡b 2(mod m )，则a ≡b (mod m )或a ≡-b (mod m )至少有一个成立。

C. 若a ≡b (mod m )，则a 2≡b 2(mod m )。

D. 若a ≡b (mod 2)，则a 2≡b 2(mod 22)。

E. 若ac ≡bc (mod m )，c 关于模m 不同余于0，则a ≡b (mod m )。

F. 若a ≡b (mod 3)，k ≥2，则a k ≡b k (mod 3)。

14．若n 为为然数，求证9n +1≡8n +9(mod 64)。

15．写出模9的一个完全剩余系。

16．写出模8的一个简化剩余系。

17．求ϕ(360)。

18．求(1237156+34)28被111除的余数。

19．若p 为奇质数，证明2p |(22p -1-2)。

20．解同余式28x ≡21(mod 35)。

21．解同余式组：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)
11(mod 10)7(mod 4)6(mod 5)5(mod 1x x x x 。

22．解同余式组：⎪⎩
⎪⎨⎧≡≡≡)8(mod 1)10(mod 3)15(mod 8x x x 。

23．解同余式6x 3+27x 2+17x +20≡0(mod 30)。

24．求出模17的平方剩余与平方非剩余。

25．判别同余式x 2≡286(mod 563)是否有解。

26．解同余式x 2≡59(mod 125)。

27．证明：若x 对模m 的指数是ab ，a >0，b >0，则a x 对模m 的指数是b 。

28．将13，)15(2
1+表成无限简单连分数。

29．若m – 1 | ϕ (m )，证明m 是质数。

30．有三个正整数，其中一数是2的倍数，一数是3的倍数，一数是7的倍数，它们的和为
23，试求这三个数。