第二讲二阶线性偏微分方程及其分类

例题2：把方程 解：该方程的
特征方程：
§5-1 二阶线性偏微分方程的分类
分类并化为标准形式 故该方程是抛物型的。
特征的解：
从而得到方程的一族特征线为：
作自变量代换
(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最 简单的函数形式,即η=x 或η=y)
于是，原方程化简后的标准形式为：
例题3：判断下面偏微分方程的类型并化简
C c, F f
从（3-3）中可以看出，如果取一阶偏微分方程
a11
z
2 x
2a12 zx z y

a22
z
2 y

0
的一个特解作为 ，则
a11
2 x
2a12x y

a22
2 y
0
（3-4）
从而A11=0。如果取（3-4）的另外一个特解作为
则A22=0，这样方程（3-2）就可以简化。
s , t ξ-η
例4：判定下列二阶方程的类型 （1）u xx 4u xy 3u yy 2u x 6u y 0 （2）(1 x2 )uxx (1 y2 )uyy xux yuy 0 （3）u xx xu yy 0
一阶偏微分方程（3-4）的求解可以转化为常微分 方程的求解，将（3-4）改写成：
a11 (
zx zy
)2
2a12 (
zx zy
) a22

0
如果将 z(x, y) c 看作定义隐函数y y(x) 的方程，则
dz zxdx z ydy 0
dy zx dx z y
第三章 二阶线性偏微分方程的化简及其
分类
祁影霞作
二阶线性偏微分方程的一般形式：
n
j 1
n
aij
i1
2u xix j

n
bi
i1
u xi
cu
f
0
其中 aij , bi , c, f 是自变量 x1, x2 ,, xn
的函数，如果f=0，则方程是线
性齐次方程，否则方程是非线性 齐次方程。
dx
dx
特征方程的解：
dy cosx 2, dy cosx 2
dx
dx
特征线：
y sin x 2x C1, y sin x-2x C2
令：
y sin x 2x, y sin x-2x

u 32 (u u ) 0
2Cu F ]
（3-7）
2：抛物型 当 a122 a11a22 0 ，这时（3-6）式只有一个解
dy a12 dx a11
它只能给出一个实的特征线，(x, y) c 。取与
(x, y) 函数无关的 (x, y) 作为另一个新的变量
则有
u

1 A22
[B1u
从而有：
a11
(
dy dx
)
2

2a12
(
dy dx
)

a22

0
（3-5）
常微分方程（3-5）叫做二阶线性偏微分方程的特 征方程。特征方程的一般积分 (x, y) c1 和 (x, y) c2 叫做特征线。
（3-5）的解为：
dy a12 a122 a11a22
dx
a11
（3-6）
令 i, i
则有：
u
u


1 A12
[( B1
B2 )u
i(2
1 )u
2Cu F ]
（3-9）
§5-1 二阶线性偏微分方程的分类
§3.2 方程的分类
由前面的讨论可知，方程(3.1)通过自变量的可逆变换化为那 一种标准形式，主要决定于它的主部系数。
若 a122 a11a22 ，0 二阶线性偏微分方程为双曲型方程
若 a122 a11a22 0，二阶线性偏微分方程为抛物型方程
若 a122 a11a22 ，0 二阶线性偏微分方程为椭圆型方程
1：双曲型
当 a122 a11a22 0 时，（3-6）式给出一族实的特征
曲线 (x, y) c1 (x, y) c2
§3.1 两个自变量方程的化简
一般形式：
2u
2u
2u u u
a11 x2 2a12 xy a22 y 2 b1 x b2 y cu f 0
（3-1）
其中 a11, a12 , a22 ,b1,b2 , f 只是x，y的函数。以下讨论时
假定 a11, a12 , a22 ,b1,b2 , f 是实数。作变量代换如下：
a11u xx 2a12u xy a22u yy
若方程(3.1)的主部系数 满足
在区域Ω中某一点(x0，y0)
则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在Ω中 则称方程在点(x0，y0)是抛物型的; 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。
相应地， (3.7)、(3.8)和(3.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆型 (二阶线性)偏微分方程的标准形式。
a122 a11a22 4 0
故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程
( dy)2 2 dy 3 0 dx dx
dy 1 dx
来自百度文库
或
dy 3 dx
故有 y 3x C1 或 y x C2
取新变量 3x y x y 则
u 3 u x
uxx 2cosxuxy (3 sin2 x)uyy yuy 0
解：
a11 1, a 12 cos x, a 22 ( 3 sin 2 x)
cos2 x 3sin 2 x 4 0 双曲型方程
特征方程
( dy)2 2 cosx dy (3 sin 2 x) 0
B2u
Cu F ]
（3-8）
3：椭圆型
当 a122 a11a22 0时，（3-6）式各给出一族复特征线
(x, y) ， (x, y)
在该变换下：A11 0, A22 0 且方程化为：
u


1 2 A12
[ B1u
B2u
Cu F ]
取 (x, y) (x, y) 则 A11 A22 0，这时方程变为
u


1 2 A12
[ B1u
B2u
Cu F ]
若再作 , 则上述方程变为：
u
u

1 A12
[( B1
B2 )u
(B1
B2 )u
a22
2 y
y x )

a22 y y
BA122aa1111xxx2
2a12 x y 2a12 xy

a
22
2 y
a22 yy
b1 x

b2 y
（3-3）
B2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y
标准形式
2u 2u f x2 y 2
u 2u f
x y2 2u 2u
f x2 y2
例1：判断下面偏微分方程的类型并化简
u xx 2u xy 3u yy 2u x 6u y 0
解：∵ a11 1
a12 1
故 a22 3
，u
y



u

2u x 2

2u
9 2
6
2u


2u
2
2u 2u 2 2u 2u
y 2 2 2
代入原方程得： 16
2u

12
u


4 u


0
即：
2u 3 u 1 u
4 4
x x(,)
y y(,)
则在上式代换下方程（3-1）变为
A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F 0
（3-2）
其中系数：

A11 A12

a11
2 x

a11 x x
2a12 x y a12 ( x y