连续介质力学几个定律

第二章 连续介质力学的基本定律

在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。

2.1 应力矢量与应力张量

在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。

在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t 对于任何物质坐标X 和与之对应的接触面S 上的单位法矢量n ，表面力的存在形式为

()n t X t t ,,= (2.101) 通常，我们规定()n t X t t ,,=指向接触面S 的外法向时为正，反之为负(见图2.1). 现在不管在X 和S 面与S'面的曲率相差多少。

为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S 截断成两部分A 和B ，如图2.3所示。此时S 面就是A 和B 相互作用的接触面，B 部分对A 部分一点的作用，便可以用A 部分截面上的表面力t n 来表征，我们称之为应力矢量。反过来，考虑A 部分对B 部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量t n -。它与t n 作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。即

t t n n =- (2.102) 对于物体内部的一点P ，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态，设想在一点P 的附近任意给定一个单位法矢量为

(),cos ,cos ,cos 321ααα=n

()n e n e n e ⋅⋅⋅=321,, (2.103) 的平截面。相应地，过P 点沿活动标架作三个坐标平面。于是它们在物体内截得一个微小四面体，如图2.4所示。在这个微小四面体的每一个面上，都受有物体的其余部分给它的作用力，不妨设在ABC 上受到的作用力为t A ∆，在PBC ，PCA 与PAB 上的作用力分别为-t A 11∆、-t A 22∆与-t A 33∆，其中∆A 与∆A i 分别为各微小平面的面积，作用于微小四面体ABCP 上单位质量的体力为b 。

现在假设对物体的任何部分，特别是对微小四面体ABCP 而言，动量的变化率与作用的合力成正比。虽然这是个很自然且牛顿第二定律更强的新假设(因为牛顿第二定律只适用于整个物体)，然而，它却不能用实验直接验证，因为不可

能做内部表面接触力的直接测定，这种力的存在与大小只能由其它量的观测推知。描述一点是应力张量，描述通过一点的某一截面是应力矢量。

对于微小四面体ABCP ，柯西定律给出 t A t A t A t A b V ∆∆∆∆∆---+112233ρ =-+t A t A b V i i ∆∆∆ρ

=-+t A t A bh V i i ∆∆∆cos αρ1

3

==tma Va ρ∆

=1

3

ρh Aa ∆ (2.104)

其中ρ为物体的密度，h 为P 点到ABC 面的距离，并且考虑到微小四面体的体积.

∆∆V h A =13

(2.105) 2.104式也可写成

t t bh ha i i

-+=cos αρρ131

3

(2.106) 当微小四面体体积趋于零时，即∆A →0，∆h →0，则有

t t i i =cos α (2.107) 考虑到2.103式，并令

t T e T e T e i i i i =++112233

=T e ij i (2.108) 则式2.107可写成

()()j ij i i i e T e n t t ⋅==αcos

()T

n e e T n j i ij ⋅=⋅=

()()n e e T t i j ij i i ⋅==αcos

()n T n e e T T j i ij ⋅=⋅= (2.109)

当T 对称时，则

t n T T n =⋅=⋅ (2.110) 其中

j i ij e e T T = (2.111) 称为应力张量，其矩阵形式为

[]⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211T T T T T T T T T T (2.112) 如果物体中一点处的应力张量已知，那么由式2.112可以得到通过该点的任

何截面上的应力矢量，因此应力张量完全地刻画了物体中一点的应力状态。 由A i 面上的应力矢量t i 的定义可知，()t X t t i i ,=，而由式2.108知 ()t X T T ij ij ,=，因此式2.109变为

()()t X T n n t X t ,,,⋅= (2.113) 上式就是柯西假设的具体形式，常称之为柯西基本定理。 下面我们研究应力张量T 的各分量的力学意义。考虑到

T e T e t e ij i j i j =⋅⋅=⋅

故知，T ij 代表作用于e i 方向截面上的应力矢量t i 在e j 方向上的分量，如图2.5所示。

我们从图2.5看到，应力张量T 的对角线元素()j i T ij =位于所作用平面的法线方向内，故称之为法向应力分量；应力张量T 的非对角线元素()j i T ij ≠位于所作用的平面内，故称为剪切应力分量。

2.2 质量守恒定律

物质无论经过怎样形式运动，其总质量是不变的，这就是古典连续介质力学中的最重要规律之一—质量守恒定律。下面我们研究质量守恒定律的数学表达式。

设ρ为物体的密度，dV 表示物质点的体积，由于在运动过程中质量保持不变，所以

()0=dV Dt

D

ρ (2.201) 展开有

()0=+dV Dt

D dV Dt D

ρρ (2.202) 又由式

()()dV divv dV x v dV Dt D

i i ==∂∂ (2.203) 于是式2.202可写成 D Dt v

x i i

ρρ∂∂+=0 (2.204) 其不变性形式为

D Dt

divv ρ

ρ+=0 (2.205) 其中

D Dt t v x i i ρ∂ρ∂∂ρ∂=+ (2.206) v t

∂ρ

ρ∂=

+⋅∇ 把上式代入式2.204，则得

()0=+i i x v t ∂ρ∂∂∂ρ (2.207) 其不变性形式为

()0div v v t

∂ρ

ρρ∂+=注明是张量，只是一个函数，既不是矢量，又不是张量

(2.208)

式2.205和式2.208就是质量守恒定律的数学表达式质量守恒方程，在连续介质力学中常称为连续性方程。