运筹学——约束极值问题
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11
(1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) i τi si ti wi i τi si ti wi i τi si ti wi 13 49 1 3 5 23 86 6 2 2 33 117 4 4 7
14 52 2 9 3 24 88 5 4 6 34 121 2 6 7
服务时间 次 (分钟) 数
1
10
2
10
3
7
4
5
5
4
6
2
7
1
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
9以上 1
合计 41
平均间隔时间： =142/40=3.55(分钟/人)
平均服务时间： 127/41=3.12(分钟/人)
平均到达率： 41/142=0.28(人/分钟)
平均服务率： 41/127=0.32(人/分钟)
13
二、Passion分布
15 61 1 1 0 25 92 1 3 7 35 127 1 2 3
16 62 2 3 0 26 95 3 6 5 36 129 6 1 2
17 65 1 5 0 27 101 2 4 2 37 130 3 3 7
18 70 3 2 0 28 105 2 1 0 38 133 5 2 7
19 72 4 8 1 29 106 1 3 1 39 135 2 4 10
第十二章 排队论
1
第一节 基本概念
一、排队系统的一般表示
例1 各个顾客由顾客源出发，到达服务机构前排队等候 服务，服务完了后就离开。
服
顾客到来
顾客源
排队结构 服务规则
务 机
排队规则
构
离去
排队系统
排队结构指队列的数目和排列方式
排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中按怎样的 规则、次序接受服务的。
2
8 上游河水进入水库 放水，调整水位 水闸管理员
3
二、排队系统的组成和特征
1、输入过程
输入即指顾客到达排队系统，可能有以下不同情况。
（1）顾客源的组成
有限的 无限的
（2）顾客到来的方式
一个一个的 成批的
（3）顾客相继到达的间隔时间
确定型的 随机型的
（4）顾客的到来
相互独立的 关联的
（5）输入过程
平稳的，或称对时间是齐次的 非平稳的
现实生活中的排队系统
序 到达的顾客 号
要求服务内容
服务机构
1 不能运转的机器 修理
修理技工
2 修理技工
领取修配零件 发放修配零件的管理员
3 病人
诊断或做手术 医生(或包括手术台)
4 电话呼唤
通话
交换台
5 文件搞
打字
打字员
6 提货单
提取存货
仓库管理员
7 驶入港口的货船 装(卸)货
装(卸)货码头(泊位)
设N(t)表示在时间[0, t)内到达顾客数； 令Pn(t1, t2)表示在时间区间[t1, t2)（t2 > t1）内有n（0） 个顾客到达的概率，即 Pn(t1, t2)=P{ N(t2) –N(t1)=n } （t2>t1，n0） Passion分布的三条件：
(1) 无后效性：不相重叠的时间区间内顾客到达数相互独立
4
2、排队规则
顾客在排队系统中按怎样的规则、次序接受服务的。
（1）顾客到达时，所有服务台被占用
随即离去的 称为即时制（损失制）
先到先服务
排队等候称为等待制
后到先服务 随机服务
有优先权
（2）从队列占用空间
有限的 无限的
（3）从队列的数量
单列 多列
5
3、服务机构
（1）服务员数量
没有 一个或多个
（2）多服务台时 单队—单服务台 1
(2) P1(t, t t) t (t)
8
2、1971年关于排队论符号的标准化会议 上决定，将Kendall符号扩展成为：
X/Y/Z/A/B/C
前三项意义不变，而 A处填写系统容量限制N； B处填写顾客源数m； C处填写服务规则。 约定： 如略去后三项，即指X / Y / Z / / / FCFS
9
四、排队系统的参数
1、队长(Ls)： 指在系统中的顾客数。 2、排队长(Lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数。
多队—多服务台（并列） 单队—多服务台（并列）
1
1
2
2
… …
c
c
6
多服务台（串列）
12 … c …
多服务台混合
1
1
2
3
2
（3）服务方式
对单个顾客进行 对成批顾客进行
确定型 （4）服务时间 随机型
（5）服务时间的分布我们总假定是平稳的，即 分布的期望值、方差等参数都不受时间的影响
7
三、排队模型的分类
20 80 3 1 0 30 109 2 5 0 40 139 4 3 8
21 81 2 2 2 31 114 1 2 0 41 142 1
9
22 83 3 3 2 32 116 8 1 0
12
到达间隔分布表
到达间隔 次 (分钟) 数
1
6
2
10
3
8
4
6
5
3
6
2
7
2
8
1
9
1
10以上 1
合计 40
服务时间分布表
1、1953年，D.G.Kendall提出第一种分类方法
X/Y/Z
X处填写表示相继到达间隔时间的分布; Y处填写表示服务时间的分布; Z处填写并列的服务台的数目. 表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号: M—负指数分布 D—确定型 Ek—k阶爱尔朗分布 GI— 一般相互独立的时间间隔的分布 G— 一般服务时间的分布
Ls=Lq+正被服务的顾客数
3、逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间。 4、等待时间(Wq)：指一个顾客在系统中排队等待的时间。
Ws=Wq+服务时间 5、忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲止
这段时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。 6、系统的状态概率[Pn( t )] ：指系统中的顾客数为n的概率。
7、稳定状态：limPn(t)→Pn
10
第二节 时间分布
一、经验分布
例2 某服务机构单服务台，先到先服务，对41顾客记录到达 时刻和服务时间s（单位：分钟）如下表，表中第1号顾客到 达时刻为0。全部服务时间为127（分钟）。
(1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) i τi si ti wi i τi si ti wi i τi si ti wi 1 0 5 2 0 5 12 2 7 10 9 36 1 2 0 2 2 7 4 3 6 19 4 3 5 10 38 2 7 0 3 6 1 5 6 7 22 3 4 6 11 45 5 2 0 4 11 9 1 2 8 26 3 10 5 12 47 4 2 3
(1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) i τi si ti wi i τi si ti wi i τi si ti wi 13 49 1 3 5 23 86 6 2 2 33 117 4 4 7
14 52 2 9 3 24 88 5 4 6 34 121 2 6 7
服务时间 次 (分钟) 数
1
10
2
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7
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5
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8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
9以上 1
合计 41
平均间隔时间： =142/40=3.55(分钟/人)
平均服务时间： 127/41=3.12(分钟/人)
平均到达率： 41/142=0.28(人/分钟)
平均服务率： 41/127=0.32(人/分钟)
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二、Passion分布
15 61 1 1 0 25 92 1 3 7 35 127 1 2 3
16 62 2 3 0 26 95 3 6 5 36 129 6 1 2
17 65 1 5 0 27 101 2 4 2 37 130 3 3 7
18 70 3 2 0 28 105 2 1 0 38 133 5 2 7
19 72 4 8 1 29 106 1 3 1 39 135 2 4 10
第十二章 排队论
1
第一节 基本概念
一、排队系统的一般表示
例1 各个顾客由顾客源出发，到达服务机构前排队等候 服务，服务完了后就离开。
服
顾客到来
顾客源
排队结构 服务规则
务 机
排队规则
构
离去
排队系统
排队结构指队列的数目和排列方式
排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中按怎样的 规则、次序接受服务的。
2
8 上游河水进入水库 放水，调整水位 水闸管理员
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二、排队系统的组成和特征
1、输入过程
输入即指顾客到达排队系统，可能有以下不同情况。
（1）顾客源的组成
有限的 无限的
（2）顾客到来的方式
一个一个的 成批的
（3）顾客相继到达的间隔时间
确定型的 随机型的
（4）顾客的到来
相互独立的 关联的
（5）输入过程
平稳的，或称对时间是齐次的 非平稳的
现实生活中的排队系统
序 到达的顾客 号
要求服务内容
服务机构
1 不能运转的机器 修理
修理技工
2 修理技工
领取修配零件 发放修配零件的管理员
3 病人
诊断或做手术 医生(或包括手术台)
4 电话呼唤
通话
交换台
5 文件搞
打字
打字员
6 提货单
提取存货
仓库管理员
7 驶入港口的货船 装(卸)货
装(卸)货码头(泊位)
设N(t)表示在时间[0, t)内到达顾客数； 令Pn(t1, t2)表示在时间区间[t1, t2)（t2 > t1）内有n（0） 个顾客到达的概率，即 Pn(t1, t2)=P{ N(t2) –N(t1)=n } （t2>t1，n0） Passion分布的三条件：
(1) 无后效性：不相重叠的时间区间内顾客到达数相互独立
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2、排队规则
顾客在排队系统中按怎样的规则、次序接受服务的。
（1）顾客到达时，所有服务台被占用
随即离去的 称为即时制（损失制）
先到先服务
排队等候称为等待制
后到先服务 随机服务
有优先权
（2）从队列占用空间
有限的 无限的
（3）从队列的数量
单列 多列
5
3、服务机构
（1）服务员数量
没有 一个或多个
（2）多服务台时 单队—单服务台 1
(2) P1(t, t t) t (t)
8
2、1971年关于排队论符号的标准化会议 上决定，将Kendall符号扩展成为：
X/Y/Z/A/B/C
前三项意义不变，而 A处填写系统容量限制N； B处填写顾客源数m； C处填写服务规则。 约定： 如略去后三项，即指X / Y / Z / / / FCFS
9
四、排队系统的参数
1、队长(Ls)： 指在系统中的顾客数。 2、排队长(Lq)： 指系统中排队等候服务的顾客数。
多队—多服务台（并列） 单队—多服务台（并列）
1
1
2
2
… …
c
c
6
多服务台（串列）
12 … c …
多服务台混合
1
1
2
3
2
（3）服务方式
对单个顾客进行 对成批顾客进行
确定型 （4）服务时间 随机型
（5）服务时间的分布我们总假定是平稳的，即 分布的期望值、方差等参数都不受时间的影响
7
三、排队模型的分类
20 80 3 1 0 30 109 2 5 0 40 139 4 3 8
21 81 2 2 2 31 114 1 2 0 41 142 1
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22 83 3 3 2 32 116 8 1 0
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到达间隔分布表
到达间隔 次 (分钟) 数
1
6
2
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3
8
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6
5
3
6
2
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8
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1
10以上 1
合计 40
服务时间分布表
1、1953年，D.G.Kendall提出第一种分类方法
X/Y/Z
X处填写表示相继到达间隔时间的分布; Y处填写表示服务时间的分布; Z处填写并列的服务台的数目. 表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号: M—负指数分布 D—确定型 Ek—k阶爱尔朗分布 GI— 一般相互独立的时间间隔的分布 G— 一般服务时间的分布
Ls=Lq+正被服务的顾客数
3、逗留时间(Ws)：指一个顾客在系统中的停留时间。 4、等待时间(Wq)：指一个顾客在系统中排队等待的时间。
Ws=Wq+服务时间 5、忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲止
这段时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。 6、系统的状态概率[Pn( t )] ：指系统中的顾客数为n的概率。
7、稳定状态：limPn(t)→Pn
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第二节 时间分布
一、经验分布
例2 某服务机构单服务台，先到先服务，对41顾客记录到达 时刻和服务时间s（单位：分钟）如下表，表中第1号顾客到 达时刻为0。全部服务时间为127（分钟）。
(1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) i τi si ti wi i τi si ti wi i τi si ti wi 1 0 5 2 0 5 12 2 7 10 9 36 1 2 0 2 2 7 4 3 6 19 4 3 5 10 38 2 7 0 3 6 1 5 6 7 22 3 4 6 11 45 5 2 0 4 11 9 1 2 8 26 3 10 5 12 47 4 2 3