第10章 波动学基础

例 如图所示，A、B两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆 为5cm，频率皆为100Hz，但当点A为波峰时，点B恰为波谷. 设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉 的结果.
P 15m A
解 BP 152 202 m 25 m
10 m 0.10 m 100 u
x u t
例1 一平面简谐波波函数为 y 0.05cos(10 π t 4 π x) m 试求:(1)波的振幅、频率、波速和波长；(2) x1 0.2m 处质 元在 t1 1.0s 时的运动状态；(3)此运动状态在 t2 1.5s 时传 到波线上哪一点？ 解 1）把波函数化为标准式
特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.
特征：具有交替出现的密部和疏部.
二 机械波的传播特征
1、波动是振动状态的传播。介质中各质点在 平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。
2、波动是相位的传播。在波的传播方向上，
各质点的振动相位依次落后。 3、波动是能量的传播。
y A cos[ (t x0 ) ] u
初相位
0 2
x0

波线上各点的简谐振动图
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[2 π( ) ] u T
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位 置的位移，即此刻的波形.
2 y x a 2 2 A cos[ (t ) ] t u
二 波函数的物理意义
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[2 π( ) ] u T
1 当 x 固定时，波函数表示该点的简谐振动方程，并给出 该点与点 O 振动的相位差. 简谐振动方程
球面波
平面波
惠更斯原理
介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源， 而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.这就 是惠更斯原理.
平面波和球面波演示
§10-2 平面简谐波波函数
一 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐 标为 y）随时间的变化关系，即 y( x, t ) 称为波函数.
x x y A cos t 0.05cos 10 t u 2.5
二式比较得 A 0.05m
10
u
u 2.5m s1
5Hz 2
=0.5m
x y A cos[ (t0 ) ] u
y
u x
t0
O
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况 （行波）.
y
u
t 时刻
t t 时刻
O
x
x
x
t x y A cos[2 π( ) ] T t x T
(t , x) (t t , x x)
波的相干条件
1）频率相同； 2）振动方向平行； 3）相位差恒定.
y1 A1 cos(t 1 )
S1
S2
r1
r2
P
波源振动
y2 A2 cos(t 2 )
y1 p A1 cos(t 1 2 π )
点P 的两个分振动

r1
r y2 p A2 cos(t 2 2 π 2 )
u 沿 x 轴正向 u 沿 x 轴负向
平面简谐波波函数的标准形式
x y A cos[ (t ) ] u t x y (x,t ) A cos[2 π( ) ] T λ
质元的振动速度，加速度
v y x A sin[ (t ) ] t u
A A1 A2
振动始终加强
2)
(2k 1) π k 0,1,2,
A A1 A2
振动始终减弱
其他
A1 A2 A A1 A2
讨论
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
2 1 2 π
r2 r1
三 描述波动过程的物理量

波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 2 π 的振动质点之间的距离, 即一个完整波形的长度.
y

x
t1
波长反映了波动在空间上的周期性

周期 T ：波前进一个波长的距离所需要的时间.
y
u
t 时刻
t t 时刻
O
x
频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完 整波的数目. 1 T
y y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 波线上各质 点平衡位置
y O
t
u x
以速度u沿x轴正 向传播的平面简 谐波。原点O的 振动方程
yO A cos t
时间推 迟方法
点O的振动状态 yO A cos t
x t u
点P
t-x/u 时刻点O 的运动

A
A2
2
O

x2
x A cos(t )
1
A1
x1
x
x
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )
tan
A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
两个同Βιβλιοθήκη Baidu向同频 率简谐振动合成 后仍为简谐振动
2） x 0.2m 处质元的振动方程
y 0.05cos 10 t 0.8
x 0.2m 处质元的振动速度
v 0.5 sin 10 t 0.8
位移 y 0.05cos 10 1 0.8 0.04m 速度 v 0.5 sin 10 1 0.8 0.92m s-1 当 t1 1.0s 时


波速 u ：波动过程中，某一振动状态（即振动相位） 单位时间内所传播的距离（相速）.
u

T

注意
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于介质的性质！
四 波动过程的几何描述
波线 —— 表示波的传播方向的直线 波阵面 —— 振动相位相同的点组成的面 波前 —— 某一时刻最前面的波阵面 波线 波阵面 波前 波前 波线 波阵面
3）振动状态传播的速度即为波速 u
x u t 2.5 0.5 1.25m
所以 t1 时刻 x1 处质元的振动状态在 t 2 时刻传到
x2 x1 x 1.45m
例2 一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅 A 1.0m ,
T 2.0s, 2.0m.在t 0 时坐标原点处的质点位于平衡位置

s1
r1 r2
点P的两个分振动
* P
y1 p A1 cos(t 1 2 π )

r1
s2
r y2 p A2 cos(t 2 2 π 2 )

y p y1 p y2 p A cos(t )
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos

t 时刻点 P 的运动
x y ( t ) y ( t t ) A cos ( t ) 点P 振动方程 P O u
A
O
y
u x
A
点O 振动方程 波 函 数
yO A cos(t )
x y A cos[ (t ) ] u x y A cos[ (t ) ] u

若 1 2 则 2 π
波程差 r2 r1
k k 0,1,2,
A A1 A2
振动始终加强
3)
(2k 1)
A A1 A2

2
k 0,1, 2,
振动始终减弱
其他
A1 A2 A A1 A2
2 1 2 π
r2 r1

常量
波程差 r2 r1
讨论
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
2 1 2 π
r2 r1

1) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而 变，但是稳定的.
2k π k 0,1,2,
§10-4 波的叠加
一、波传播的独立性原理 若干列波在传播过程中相遇 , 每列波仍将保持其原有的振动特 性(频率,波长,振幅,振动方向),不受其它波的影响. 二、 波的叠加原理
在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该
点所引起的振动位移的矢量和.（叠加性）
三、波的干涉
干涉：两列波在空间相遇(叠加),在空间的某些地方振动始 终加强,而在空间的另一些地方振动始终减弱或完全消失的现 象.
x 0.5m 处质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
练习 例10-1 一振源在介质 内作谐振动，其振动曲线如 图所示。此振源向x正方向 发出一平面简谐波，波速 为 0.3m s-1 。若以振源处为 写出此平面波波函数；
y/m
2 10 3
O
1
2
3
4
t /s
3 2 10 坐标原点，试根据图中数据，
第十章 波动学基础
10-1
波动的基本概念
10-2
平面简谐波波函数
10-4
波的叠加
§10-1 波动的基本概念
波动 —— 振动在空间的传播过程. 机械波 电磁波 机械振动在介质中的传播.
交变电磁场在空间的传播.
一 机械波的形成 产生条件：1）波源；2）介质.
二 横波与纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相互垂直的波.
沿O y 轴正方向运动.求 1）波函数 解 写出波函数的标准式
t x y A cos[2π( ) ] T
O
y
t 0 x0
y y 0, v 0 t t x π ) ] m 2.0 2.0 2

A
y 1.0cos[2 π(

π 2
2） x 0.5m 处质点的振动规律 t x π y 1.0cos[2 π( ) ]m 2.0 2.0 2
20m
B
BP AP
设A 的相位较B 超前， 则 A B π .
25 15 π 2 π 201 π 0.1
B A 2 π

点P合振幅
A A1 A2 0
两个同方向同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) x x1 x2