二元函数可微的充分条件(最 终版)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中值定理，有 （3）
在 之间， 在 之间。 在连续，有 （4） 在 时是无穷小量。 在关于单元连续， 有
（5） 在 时是无穷小量 将（4）（5）代入（3）有 可以证明
是无穷小量，又两边夹准则，是无穷小量，所以是无穷小量，即
二元函数可微的充分条件（最终版） 教材的充分条件是这样的， 的偏导数连续，则函数是可微的。条件可 弱化为，偏导数存在，且其中一个偏导数连续，另一个偏导数单元连续 （关于求导变元），则函数是可微的。 Βιβλιοθήκη Baidu元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。 证明：1）设 连续，关于单元连续。
因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日 中值定理，有
（1） 在 之间， 在 之间。 在连续，有 （2） 在 时是无穷小量。 在 关于单元连续， 有
（3） 在 时是无穷小量。 将（2）（3）代入（1）有 可以证明
是无穷小量，又两边夹准则，是无穷小量，所以是无穷小量，即 2）设 连续，关于单元连续。 因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日
在 之间， 在 之间。 在连续，有 （4） 在 时是无穷小量。 在关于单元连续， 有
（5） 在 时是无穷小量 将（4）（5）代入（3）有 可以证明
是无穷小量，又两边夹准则，是无穷小量，所以是无穷小量，即
二元函数可微的充分条件（最终版） 教材的充分条件是这样的， 的偏导数连续，则函数是可微的。条件可 弱化为，偏导数存在，且其中一个偏导数连续，另一个偏导数单元连续 （关于求导变元），则函数是可微的。 Βιβλιοθήκη Baidu元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。 证明：1）设 连续，关于单元连续。
因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日 中值定理，有
（1） 在 之间， 在 之间。 在连续，有 （2） 在 时是无穷小量。 在 关于单元连续， 有
（3） 在 时是无穷小量。 将（2）（3）代入（1）有 可以证明
是无穷小量，又两边夹准则，是无穷小量，所以是无穷小量，即 2）设 连续，关于单元连续。 因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日