流体力学第七章不可压缩流体动力学基础

第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的观点，求得平均量。

但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。

本章的容介绍流体运动的基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。

第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。

位移和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。

在直角坐标系中取微小立方体进行研究。

一、平移：如果图（a）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成了液体基体的单纯位移，其移动速度为z y x u u u 、、。

基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不变）。

二、线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比A 点和D 点大了dy yu y ∂∂，而yu y ∂∂就代表1=dy 时液体基体运动时，在单位时间沿y轴方向的伸长率。

x u x ∂∂，y u y ∂∂，zu z ∂∂ 三、角变形（角变形速度）dd dd DCABCDBAdt yu dy dt dy y u d x x ∂∂=⋅∂∂=α dt x udx dt dx x u d yy∂∂=⋅∂∂=β θβθα+=-d d 2βαθd d -=∴ 角变形： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=+=-=x u y u d d d y x z 212βαθαθ ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=x u z u z x y 21θ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=y u z u z y x 21θ 四、旋转（旋转角速度） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=-=y u x u x y z 21θω⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y zx 21ω 即， ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y 21ωzyxu u u z y x k ji ∂∂∂∂∂∂=21ω 那么，代入欧拉加速度表达式，得：z x x x x x x z y y z z y y y y y y y x z z x x z z z z z z z y x x y y x x y du u u u u u u u dt t xu u u u u u u u dt t y u u uu u u u u dt t z αθθωωαθθωωαθθωω∂∂⎫==++++-⎪∂∂⎪∂∂∂⎪==++++-⎬∂∂⎪⎪∂∂∂==++++-⎪∂∂⎭各项含义： （1） 平移速度（2）线变形运动所引起的速度增量 （3）（4）角变形运动所引起的速度增量 （5）（6）微团的旋转运动所产生的速度增量流体微团的运动可分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和。

——亥姆霍兹速度分解定理第二节 有旋运动 1、无涡流（势流）如在液体运动中，各涡流分量均等于零，即0===z y x ωωω，则称这种运动为无涡流。

当满足无涡流条件时，y z x z y x u u y z u u z x u u x y ∂⎫∂=⎪∂∂⎪∂∂⎪=⎬∂∂⎪∂⎪∂=⎪∂∂⎪⎭，满足柯西条件，就有：x y z u x u y u z ϕϕϕ⎫∂=⎪∂⎪∂⎪=⎬∂⎪⎪∂=⎪∂⎭存在。

ϕ即流速势。

满足此条件的流动（无涡流）就叫势流。

（下一章作详细介绍） 2、有涡流：如在液体运动中，涡流分量x ω、y ω及z ω中间的任一个或全部不等于零，则这样的液体运动就叫做旋流或有涡流。

自然界中的实际液体几乎都是这种有涡的流动。

涡线：流场中一些假想的线，在所讨论的瞬时，涡线上各个质点的涡旋向量都与此线在该点处相切。

y与流线同样的分析方法，得到涡线方程：zyxdzdydxωωω==涡量：设流体微团的旋转角速度为()t z y x ,,,ω，则k j i z y xΩ+Ω+Ω==Ωω2称为涡量，是与空间坐标和时间有关的矢量函数。

其中x Ω、y Ω和z Ω是涡量在x 、y 、z 坐标上的投影。

根据旋转角速度的定义，有：z u y u y z x ∂∂-∂∂=Ω xu z u zx y ∂∂-∂∂=Ω y u x u x y z ∂∂-∂∂=Ω 哈米尔顿算子是一矢量算子，k zj y i x∂∂+∂∂+∂∂=∇， 可知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇y u x u j x u z u i z u y u u u u z y x kj iu x y z x y z zy xu⨯∇=Ω那么，()0=⨯∇⋅∇=Ω⋅∇u就自然满足。

或者写成， 0=∂Ω∂+∂Ω∂+∂Ω∂zy x zy x 即涡量的定义使之自然满足涡量连续性微分方程。

例：已知某圆管（半径0r ）中液体流动的流速分布为：()[]22204z y r J u x +-=μγ 0=y u 0=z u 试判断该流动是有涡流还是无涡流？并求涡线微分方程。

021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z x ω z Jx u z u z x y ⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=μγω421y Jy u x u x y z ⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=μγω421 所以，该流动是有涡流。

将上三式代入涡线微分方程，zyxdzdydxωωω==，得：y J dzz J dy μγμγ44=- 0=+zdz ydy 积分后，得到： C y z =+22涡线是和管轴同轴的同心圆。

涡管：在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每一点所做出的涡线构成一管状的曲面，称为涡管。

涡通量：设A 为涡量场中一开口曲面，微元面dA 的外法线单位向量为n，涡量在n方向上的投影为n Ω，则面积积分⎰⎰⎰Ω+Ω+Ω=Ω=⋅Ω=Az y x An Adxdy dzdx dydz dA A d J称为涡通量。

有旋运动的一个重要的运动学性质：在同一瞬间，通过同一涡管的各截面的涡通量相等。

证明：我们知道，根据涡量的定义，可以很容易知道，涡量自然满足涡量连续性微分方程，即：0=∂Ω∂+∂Ω∂+∂Ω∂zy x zy x ，对这个微分方程在任意封闭体积上作积分，也是满足的，若任意体积取为，一段涡管和两个截面A1和A2，就有： 0=∂Ω∂+∂Ω∂+∂Ω∂⎰dV zy x v zy x 可以将体积分化成封闭曲面积分： ⎰++Ω+Ω+Ω321A A A z y x dxdy dxdz dydz⎰⎰⎰Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω=321A z y x A z y x A z y x dxdydxdz dydz dxdydxdz dydz dxdy dxdz dydz⎰⎰⎰⋅Ω+⋅Ω+⋅Ω=321A A A A d A d A d 其中 03=⋅Ω⎰A A d()()⎰⎰⋅Ω+⋅Ω=21A A dA n dA n021=Ω+Ω-=⎰⎰A n A n dA dA所以，⎰⎰Ω=Ω21A n A n dA dA 得证对于微元涡管，近似认为截面上各点的涡量为常数， 2211A A Ω=Ω性质：涡管不可能在流体部开始或终止，而只能在流体中自行封闭成涡环，或者终止于和开始于边界面。

龙卷风开始于地面，终止于云层。

速度环量：在流场中任取一封闭曲线s ，则流速沿曲线s 的积分： ⎰⎰++=⋅=Γsz y x sdz u dy u dx u s d u称为曲线s 上的速度环量，并规定积分沿s 逆时针方向绕行为s的正方向。

（一）斯托克斯定理 根据斯托克斯公式，⎰⎰++=⋅=Γsz y x ss dz u dy u dx u s d u⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=A x y z x y z dxdy y u x u dxdz x u z u dydz z u y u A AAz z y y x x J A d dA dA dA =⋅Ω=Ω+Ω+Ω=⎰⎰性质：沿任意封闭曲线s 的速度环量等于通过以该曲线为边界的曲面A 的涡通量。

——斯托克斯定理。

（二）汤姆逊定理汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么沿由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间而变，即：0=Γdtdy解释：速度环量=涡通量，所以，流体的涡旋具有不生、不灭的性质。

第三节 不可压缩流体连续性微分方程1、微分形式的连续性方程在推导这个方程式时,我们认为运动着的液体系连续地充满它所占据的空间,流动时不形成空隙,并且表征液体运动的各物理量也都是时间和空间的连续函数。

在时间t ,于流场中取一具有边长为dx 、dy 、dz 的微分六面体,在随后的一无限小段dt ,流进和流出该微分六面体的质量。

流出-流入=质量增量。

微分六面体形心A 点的坐标为（x 、y 、z ）,密度为ρ,质点的速度分量为x u 、y u 及z u ,则在dt 时段沿x 轴从左侧面abcd 流入六面的液体质量为x dx ∂∂-ρρ21()2dx x dx ∂∂+ρρ2dydzdt dx x dx x u u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-2)]21([ρρ 流出的液体质量为：dydzdt dx x dx x u u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+2)]21([ρρ 质量的变化：dxdydzdt tdxdydz dxdydz dt t ∂∂=-⎪⎭⎫⎝⎛∂+ρρρρ 联立，得到：()()()dxdydzdt tdxdydzdt z u dxdydzdt y u dxdydzdt x u z y x ∂∂=∂∂-∂∂-∂∂-ρρρρ 0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u t zy x ρρρρ（一般形式的液体连续性方程）适合可压缩和不可压缩液体。

或，写成：0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+z u y u xu dt d z y x ρρ0=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u zy x （适合不可压缩液体，恒定流和非恒定流） 它是质量守恒定律在水力学中的表现形式。

它表征着不可压缩液体在运动时,若保持其连续性,则线性变形必系伸长现象与缩短现象同时发生。

2、积分形式的液体连续性方程 连续性方程写成矢量形式：()0=⋅∇+∂∂u tρρ 其中∇为微分算子。

体积积分：()0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇+∂∂⎰⎰⎰τρρd u t v 根据高斯公式，()[]0=⋅+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰A v dA n u d tρτρ对于恒定流，()[]0=⋅⎰⎰AdA n uρ对于不可压缩，()0=⋅⎰⎰A dA n u n 是液体边界的外法线方向考虑到速度和面积的方向，就可知：02211=⋅+⋅-dA u dA u ，即，2211dA u dA u ⋅=⋅ （微小流束的流量平衡）积分后，可以得到，2211A v A v = 其中1v 、2v 为各自断面上的断面平均流速。