浅议微积分的教与学

浅议微积分的教与学
在整个数学教育体系，唯有微积分处于从常变量教学进入变量教学的重要位置，具有极其丰富的应用价值。

随着社会经济和文化的不断发展，微积分教学也在不断发展，与此同时，微积分的地位也逐渐提升。

微积分教师经过对教学方式的长期摸索，取得了巨大的成果，但仍然存在可以提升的空间。

微积分以培养学生的思维方式为目标，对于学好微积分这门课程来说，微积分的教与学同样重要。

所以我从教师与学生这两个角度出发，探索学好微积分的各种方法。

从教师的角度，教师应该要能够理解学生学习微积分的困难和更全面的让学生去理解并精通微积分；从学生的角度，学生应该不仅要学会微积分，还要高效率的学会微积分。

随着社会的快速发展，教育体制越来越完善，数学的地位越来越高，应用也变得非常广，已经涉及到社会的各个领域，高校数学老师在教学生微积分的单纯知识的同时，要更注重培养学生的思维和学习方式。

微积分作为高校教学体系中一门极其重要的学科，学习的方式方法多样，教学的方式也可以多变。

微积分在大学教育中是必要且必须的，对学生来说，掌握微积分对以后的科研打了非常牢固的基础，而且学生掌握了基本的运算，锻炼了思维。

不仅在中国，在世界的其他地区，政府对大学微积分的教育都十分的关注，都把数学教育放在了举足轻重的地位。

提升微积分教育质量，才能培养出适合新时代需求的高素质人才。

本文即从教师如何帮助学生更深刻的领略微积分的魅力和学生应该如何去做才能更有效率的去学习微积分两个的方面，探索学习微积分的方法。

第一章教师的角度
1.1 老师应注重高中数学与大学数学中微积分的衔接
近几年中，教育机构逐步改革了高中数学的很多内容，其中包括微积分的很多内容。

甚至在不同版本教材中，对于极限，微积分等的定义和证明都有很大的不同。

虽然它的含义都是一样的，但是对学生来说，不同的表述的方式和不同的证明思路对学生理解知识点来说有很大的不同。

而大学并没有及时的关注高中数学与大学数学的衔接，也没有积极的去根据高中数学去改进大学数学的教学方式。

更糟糕的是，对大学数学老师来说，他们更没有意识到这方面的断缺，更有甚者只是按照自己之前学过的微积分来教他们的学生，这必然会加剧高中数学和大学数学的断缺，从而使学生们学习的难度更加的加大，久而久之，学生会更有可能产生学习微积分的恐惧，厌学心理也会增加，从而恶性循环，更加学不好微积分。

所以对大学数学老师来说，他们应该大概了解清楚大多数学生的知识背景，做到心中有数，并根据学生的知识背景去改进自己的教学方法。

这样不仅能够让老师在课堂上讲课更加轻松，也能减轻学生学习的难度，提升学生学习微积分的兴趣。

1.2 老师要注意改变讲课方式帮助学生更好的学习微积分
在高中的数学微积分课程中，除了一些参加过数学竞赛的同学外，大部分同学都只接触过与有限有关的概念而没有接触过与无限有关的概念，而大学课程一开始就涉及到无限的概念，学生的思维方式并没有转变过来。

所以对学生来说，学习微积分是思维上的一个跳跃，是一件不简单的事。

但对老师来说，老师早已学过微积分，对微积分的理解也是非常的深刻和透彻，老师会觉得微积分是很简单的。

如果老师不能明白学生和老师之间的巨大差距，老师就会只是纯粹的教知识点，而忽略知识点背后的来源和意义，而这对学生来说是理解这个知识点的重要来源，从而学生也只能单纯的接收知识点，理解的并不深刻。

那么学生很容易就会觉得学习微积分很枯燥，乏味。

有这样的想法之后，一旦当学生有一个知识点理解的不好，那么他对于以后出现的有关联的知识点基本上不可能理解的不好。

所以老师要注意改变呆板的填鸭式教学，要注重知识的来源和意义，让学生深刻的理解。

只有充分的理解学生包括学生的学习习惯，才能有办法让学生了解微积分的精髓，也才能以最有效的方式让学生理解明白。

老师改变教学方式还应该包括改变课堂上沉闷的气氛。

老师在课堂上也要增强在课堂上与学生的互动，
活跃气氛，这样能让学生们可以积极的参与到课堂教学中，从而提高学生的听课效率。

1.3 教师应注重利用自己的人格魅力去提升微积分的教学效率
何为人格魅力？人格魅力是指一个人在气质，道德品质，性格，能力等方面拥有让人信服和崇拜的力量。

人格魅力可以帮助老师去提升课堂上学生听课的效率。

比方说，一个拥有人格魅力的老师在上课时会不自觉中吸引学生的注意力，把学生对老师的喜爱转移到学生对那门学科的喜爱上去，从而调动学生学习的积极性。

而一个没有人格魅力的老师在上课时，学生则没有这种移情的作用，学生可能更容易感觉课堂的枯燥与乏味，特别是在学习微积分的时候。

因为微积分对大部分大学生来说算是一门比较难的课程，因此更需要老师用人格魅力去吸引学生在课堂上的注意力。

而教师的人格魅力就是指教师身上能够让学生喜爱，敬佩的品质。

比如耐心，比如正直，比如学识渊博等等。

在老师授课过程当中人格魅力会无形散发出来，渗透到方方面面。

它会吸引学生的注意力，引导学生的行为。

特别是对于容易产生厌学情绪的学生来说，它能拉近学生与老师的距离，消减学生的厌学心理。

同时也为同学与教师之间的互动打好了基础，从而教学质量也会更好。

1.4 教师应注重将数学的历史加入的微积分的学习中
现今的大学微积分教材的大部分重点在于微积分知识点的阐述和知识点之间的关联性，而往往会忽略那些知识点的来源和那些伟大的数学家创造概念和发现定理的试错过程。

但是对于学生来说只有明白那些试错的过程，才能更好的理解整个微积分的框架，甚至是为以后进行科学研究和科学创新打好基础。

而那些历史的缺失会导致学生对于概念，定理的认识不深刻，更遑论以后的科学创新。

比方说如果不了解定积分这个概念的来源是为了解决不规则图形的面积，那么学生在学习定积分的时候就可能认为定积分只是一堆数字，没有应用价值。

又比方说如果不能理解分部积分的来源的话，也就不能更好更熟练的运用分部积分。

并且学生也不知道为什么学这个概念，就会产生混乱也更没有动力去学微积分。

但是如果老师在课程教学中添加相关概率数学历史，可以帮助学生系统的理解微积分的各个知识点。

并且如果老师可以把那些学生可能感兴趣的数学史实在课堂上讲述出来，也会增加学生对该学科的兴趣。

数学史就是一条顺流而下的河，当我们逆流而上，寻找河流的源头史，可以帮助我们形成系统的数学观，这对于在以
后的数学研究是非常有益的。

总之，将数学的历史融入微积分课堂上是非常有帮助的。

1.5 教师应注重将现代技术运用的传统教学当中
随着社会的不断进步和发展，科学技术也有了举足轻重的进步。

所以教学方法也应该跟随着科技的脚步不断的向前发展。

而让教学方法老树发新芽的办法就是将现代技术融合到传统的教学当中。

将现代技术运用到传统教学可以改变传统呆板的老师讲而学生被动接受的授课方式。

比方说，采用多媒体教学减少了老师板书所花费的时间，那么老师就可以有更多的时间去跟学生互动，去关注学生的听课效率，这样就可以帮助学生提高了听课效率。

并且比方说如果老师用MATLAB 去模拟积分过程，可以帮助学生直观的理解积分，让学生可以更好的理解知识点。

在教学课堂上才有MATLAB和一些专门的教学软件，也更容易保持学生与社会的关联，而不是变成死读书。

但是也不能全盘的将多媒体教学去替换传统教学，如果全盘的用多媒体教学区替换传统教学，对于微积分这种关联性很强的课程来说，就会很容易导致学生与课堂的脱节，学生的注意力就很容易分散。

并且传统教学也是有优点的，老师在黑板上书写定理的证明过程，更容易让学生跟着老师的思维走。

现代技术对于微积分课堂来说只是一个工具，为老师和学生提供便利。

所以老师应该注意现代技术与传统教学的交融结合。

第二章学生的角度
2.1 学生应该养成预习的习惯
预习对于学生来说是一个非常好的习惯。

因为只有每一次上课前，学生都进行过预习的时候，学生都对老师要讲的知识点进行过自己的理解，学生才可以做到跟上老师所讲的思路，甚至走在老师的前面去思考比老师所讲的思路更精妙的方法。

这样听课的效率才是最高的，学生才可以仅在课堂的时间内就完全的理解所学的知识。

但是预习也是有方法的，不能是盲目的预习。

盲目的预习只可能是事倍功半。

而学生如果想要达到事半功倍的效果就应该这样的预习：学生在看课本的前一定要有自己的想法，要明白看书的目的，是为了搞懂什么知识点，为什么要搞懂这个知识点，搞懂这个知识点对后续的课程有什么意义和为了搞懂这个知识点我们需要重点理解什么。

只有明白这些，带着这样的问题去预习，预习才
可能有好的效果。

相反，如果没有预习的话，学生就只能跟在老师的思路之后，老师讲什么，学生就接收什么，根本没有多余的时间想搞懂这个知识点的方法和意义。

这样学生不仅学习效率不高，久而久之，甚至还会导致一些学生的厌学心理。

但是现在的大学生大部分都没有高效预习的习惯，这也是很多学生学不好微积分的重要原因之一。

因此大学生要学好微积分的话，一定要养成高效预习的习惯。

2.2 学生在听课中应该学会带着疑问听课和举一反三
在预习的过程中，大部分学生都不大可能弄明白所有的知识点，总是会有些知识点理解的不是很透彻。

这时候学生应该要把那些不明白的知识点记下来，在老师上课的过程中带着那些疑问去听课。

带着不明白的知识点去听课，可以帮助学生在课堂上把注意力集中在不理解的知识点上，而对于理解了的知识点，学生可以对比老师讲的思路和自己理解的思路，看有没有什么偏差，想一想为什么会出现这样的偏差，从而从不同的角度去理解知识点。

这样学生不用在课堂上每时每刻都绷紧神经认真听讲，可以有选择性的去听讲，这样听课效率可谓是事半功倍。

事实上，老师在课堂上讲的是知识点，但学生要学会的是应用，特别是对于微积分这门课来说，最重要的就是应用。

所以学生一定要学会的是举一反三。

那么如何学会举一反三呢？要学会举一反三，就一定要在听课的过程中学会重点听老师的解决微积分问题的思路和方法，再把老师的方法自己总结一下，然后学生再用自己总结的方法去套别的微积分题目，如果成功的作出题目，就算是学会举一反三了。

按照这样做学生可以花最短的时间去搞定微积分这门课。

总而言之，学会带着疑问听课和举一反三是学会大部分课程的好方法
2.3 学生应该要重视复习过程
大部分的学生都觉得上完课就相当于完成了学习的整个过程，其实不是的。

那只能算是完成了学习过程的50%，复习应该要占到剩下的50%。

当学生在课堂上认真听讲时，只是获取了知识，而复习则是为了掌握和理解知识。

重点正是在于掌握知识。

学生在复习时最好要做到：在课后系统的总结老师在课堂上讲的微积分知识和重点，对比老师讲的思路和自己原先预习是所想的思路，找出差别，然后完善自己的思路，最后找到课堂上的知识的重点和难度，在那些地方重点钻研，争取做到全面的理解所有的知识点。

在每个章节学习完了以后，还要进行每个章节的复习，整个微积分学完以后还要进行总的复习，为的就是把所学的知识
融会贯通，形成系统完整的知识构架。

在每个章节的复习过程中，除了总结知识系统，还有比较重要的就是做题了。

做题也不是单纯的做题，必须要经过对知识的系统总结之后再做题才有事半功倍的效果。

但是很多学生在高中时期养成的不好的学习习惯：先做题，再复习或者是只做题，不复习，这样是非常不好的。

他们觉得只要把微积分里的题做出来就代表知识点理解透彻了，其实不是的。

因为习题里所包含的知识点事不完善的，单单只靠做习题是不可能构建出完整的知识系统的。

并且大部分不复习然后就做题的学生，常常是在做题的时候还要看书和笔记，这样是非常没有效率的。

这样的学生如果离开了书本，就不会做题了。

只有在复习了相关知识，在抛开书本，自己去做题，才算是完整的完成了复习过程。

2.4 学生应注重在课下与老师的互动
老师在课堂上是针对所有的学生授课，是不怎么有时间和精力去关注单个学生的学习情况的。

这并不是说老师不负责，只是时间和精力有限。

但是大部分大学的微积分老师是有留给学生答疑的时间的，这时候老师就很有可能会关注答疑学生的学习情况。

由于老师能够从整体框架的角度去发现学生知识点的不足，所以学生应该要抓住与老师的答疑时间，让老师去帮学生查漏补缺。

并且在答疑时间与老师的交流很多的话，老师就会对其印象深刻，那么在课堂上老师也可能更加关注那位学生。

如果学生在整个学习中遇到问题，而不去找老师解决的话，由于微积分知识的连贯性，问题就会像滚雪球一样越来越大，从而影响整个微积分知识的把握。

所以，学生应该要抓紧机会和老师在课下互动。

第三章论述微积分的难点及其原因
经过一段时间对A校区图书馆的学生的调研，我发现大部分学生觉得微积分的难点有不定积分、未定型极限和中值定理。

3.1 不定积分
不定积分是微积分的难点之一。

不定积分也是重积分、定积分和微分方程求解的基础。

但不定积分对学生来说是比较困难的，不仅是因为它所需要的计算的技巧性较强，还因为微积分课本上对于不定积分的定义和来源解释的不是很清楚，但它最本质的原因还是因为其没有像导数那样的乘、除运算。

因为缺乏来源，可能就导致了学生不能系统的学习这个定义。

所以对于不定积分的运用来说，学
生就很很不熟练。

并且对于微积分的计算来说，很多时候它都需要对被积函数做变形将其转化为公式形式的计算，这样的话对于很多练习做的不是很多的学生来说比较难于理解。

对于不定积分有以下解法：直接积分法、换元积分法和分部积分。

直接积分法适用于一些简单的积分，一般来说如果可以把基本积分表背熟的话，那么有一部分积分都是可以很轻松的解决。

对于直接积分法不能解决的积分，我们就可以尝试去用一些换元积分法和分部积分法。

换元积分法有三种即第一积分法（凑微分法）、第二积分法和三角代换法。

第一积分法的精髓就是要对被积函数进行彻底的分析，要将被积函数表示成两个函数相乘的形式。

而第二积分法就是第一积分法的相反的对应。

第二积分法的精髓就是把变量表示成函数的形式从而使被积函数变成简单的，容易算的形式。

三角代换法也是第一积分法的特殊形式，如果当把变量变换成三角函数的形式，被积函数更容易积分的时候用三角代换法是最好的。

分部积分法的难点也是要把被积函数看成是两个函数的乘积，但是要把一个函数看成是某个函数的导函数的形式，这就是分部积分法和第一积分法最大的区别。

学生应该在学习不定积分的时候注意到两点：第一就是要弄清楚不定积分的含义和来源；第二就是要多做练习，熟练的运用各种积分法。

3.2 未定型积分
微积分是以极限为基础的，而极限又以未定型极限最难。

一般来说，极限可分成未定型极限和确定型极限两种。

未定型极限是指00,0000∞∞⨯∞
∞，，，的类型的积分，未定型极限不能直观的解决计算，一般要进行变换之后再解。

而确定型极限一般来说是可以根据函数的连续性来求解的。

所以未定型极限要复杂点。

未定型积分是没有一般解法的，所以我们要逐个的分析每一个未定型积分。

对00型和∞
∞的积分来说，可以直接运用Hospital L '法则；对于∞⨯0的形式来说，要对其进行通分和有理化因子，把它变成∞∞和00的形式，再利用Hospital L '法则。

而对于像∞∞和00的形式，需要对其采用指数变换法将其转变为∞⨯0的形式。

即)(ln )()()(ln )()(f x f x g x g x f x g e e x ==。

那么)(ln )(x f x g 就是∞⨯0的形式了。

在利用∞⨯0的方法求解就可以了。

学生会觉得未定型极限的求解困难，很大程度上是因为学生对于无穷小量的定义理解出现混淆。

可能会认为无穷小量和无穷小量都是一样的，无穷大量和无穷大量是一样的。

这样想的话会导致他们不去进行未定型极限的变换而直接的得出结论，但这样得出的结论往往都是错的。

所以学生在学习未定型积分的时候，要先回顾前面课本上关于无穷小量和极限的各种定义和性质，在此基础上充分了解ospital H L '法则，这样才能学会各种未定式积分。

3.3 中值定理
中值定理对于整个微积分的框架而言，它是导数与函数之间的桥梁，在整个微积分中占有重要的地位。

在中值定理的体系中，它包含有罗尔中值定理、泰勒中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

最基本的定理是：如果函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么总存在一个点的导数值等于两个端点连线的斜率。

而其他的定理都是它的延伸。

中值定理总的来说就是一个将复杂的积分化为简单的函数的一个工具。

在微积分教学上，中值定理很多时候都是用去证明等式或不等式的题目。

这一部分几乎所有的学生都觉得难。

而他们觉得难的原因是因为在遇到题目的时候很多学生都不能联想到要用中值定理去解决那个题目，只能在看过答案了之后才知道用中值定理做那道题。

产生这个困境的原因可以从两方面去考虑：第一，老师在教微分中值定理的时候，只是单纯的教定义、性质、定理，然后在做题，而没有教学生站在整个微积分学习的体系上去看待中值定理。

而由于在微积分体系中，中值定理起的是一个桥梁的作用，所以如果老师教的不完整的话，学生就认识不到这样的问题。

由于中值定理一般跟别的章节的内容一起考，那么对于这种跨章节的题目，学生就会不容易把握住；第二，学生在学习中值定理的过程中，不善于思考。

在学习的过程中，学生没有想过我们为什么要学习这个知识点，他只是跟着老师所讲的内容。

并且学生也很少能够举一反三，在这种情况下，如果做得练习题又不多的话，那肯定是学的很差的。

第四章当前先进的数学教学模式
随着大学数学教师对于对于教学模式的探索，现在有一些非常值得我们参考学习的先进的教学模式。

比方说分层次教学模式，自学辅导模式与先行组织者模式的综合模式。

4.1 分层次教学模式
分层次教学模式简单的说就是把数学基础不同的学生分开教学，把学习基础好的学生分到一个班，学习成绩差的学生分到另一个班。

这样可以避免他们之间坏的相互影响。

因为学习差的学生会由于与学习好的学生的差距比较大而自卑，
进而失去对学习的兴趣；而学习好的学生会因为与学习差的学生做对比而不能正确的认识自己的学习情况。

在这种情况下，分层次教学模式可以解决这个问题。

分层次教学模式的核心严格的说是承认学生之间的差异性，因材施教。

分层次教学模式的需要有计划的实施。

第一步根据成绩把学生分到普通班和好班；第二步制定好班和普通班的教学计划和教学的进度，其中在好班里的教学内容除了基本的课本知识外，还应该增加额外的应用性的知识，使好班的学生可以更好更熟练的应用课本上的知识。

而普通班的教学内容应该要侧重课本上的基础知识，弱化定理的证明过程，注重计算能力和思维方面的锻炼。

第三步对两个班级实行动态考评：在普通班表现好的学生可以调到好班，而在好班表现差的学生应该降低普通班。

我对分层次教学模式有以下几点的建议：第一在对学生进行评价的时候，要采取多方面的评价模式，不能仅凭考试成绩来决定。

在评价中应该增加平时成绩、课外动手能力、课堂活跃程度等方面；第二由于对学生进行了一定程度的区分，所以教课的老师要格外注意普通班学生的心理状态，避免使其产生自卑的心理。

4.2 综合模式
综合模式是指自学辅导模式和先行组织者模式的合理综合。

自学辅导模式简单的说就是以学生自学为主，老师辅导教学。

这样可增加学生学习的主动性，并且对于老师来说可以把更多的精力放在学生的身上，重点关注学生之间的差异性。

对于老师，对于学生来说都非常好。

先行组织者模式是美国教育学家奥苏伯尔提出来的。

他的主要方法就是用接受知识的方法学习，主要的方式是讲授法。

他认为学生在接受知识的过程中，可以主动的将新的知识与旧的知识相联系，对比和融合。

并且学生的学习主动性也会因此提高。

这两种方法各有它的好处也各有它的坏处。

自学辅导模式可以在实践中教会学生学习的能力。

这是非常重要的能力，关乎国家的创新能力，国家的未来。

我们的教育体系需要迫切的教会学生这种学习能力。

但是从我国的现实情况来看，我国的教育资源严重不足，大学数学老师也存在很大的缺口。

而自学辅导模式在这种情况下是不能展开的，所以大多数学校还是采用课堂讲课法。

在现有的资源下，自学辅导模式与先行组织者模式的恰当综合，可以发挥教育的最大功效。

那么它们应该怎么综合呢？首先，应该要做到学生在自学的过程中要在老师的引导下去自觉的进行新知识和旧知识的联系、对比和融合。

其次，老师要跟学生多交流，多接触，找到可以提高学生学习主动性的方法。

最后，老师带领学生去寻找各个知识点的规律。