2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.7立体几何中的向量方法课后作业理
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7．7 立体几何中的向量方法
[重点保分 两级优选练]
A 级
一、选择题
1．已知点A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →
与AC →
的夹角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
答案 C
解析 由已知得AB →
＝(0,3,3)，AC →
＝(－1,1,0)，
∴cos 〈AB →
，AC →
〉＝
AB →
·AC
→
|AB →||AC →|
＝332×2＝12.
∴向量AB →与AC →
的夹角为60°.故选C.
2．(2018·伊宁期末)三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π
3
，则二面角A －BD －C 的大小为( )
A.π3
B.2π
3 C.π3或2π3 D.π6或π3
答案 C
解析 ∵二面角的范围是[0，π]，且〈n 1，n 2〉＝π3，
∴二面角A －BD －C 的大小为π3或2π
3
.故选C.
3．(2017·太原期中)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，
E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )
A.1010
B.15
C.31010
D.35
答案 C
解析 如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． 设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)． ∴BE →
＝(0，－1,1)，CD 1→
＝(0，－1,2)． ∴cos 〈BE →
，CD 1→
〉＝
1＋2
2·5
＝31010.故选C.
4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2
3A 1
D ，AF
＝1
3
AC ，则( )
A ．EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直
B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥A
C C ．EF 与B
D 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B
解析 以D 点为坐标原点，
以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体棱长为1，
则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →
＝(－1，0，－1)，AC →
＝(－1,1,0)，EF →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1,1)，
EF →
＝－1
3
BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →
＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .故选B.
5．(2018·河南模拟)如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1＝B 1C 1
＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°，D 点在棱AA 1上且AD ＝2DA 1，P 点在棱C 1C 上，则PD →
·PB 1→
的最小值为
(
)
A.52 B ．－14
C.14 D ．－52
答案 B
解析 建立如图所示的直角坐标系，
则D (1,0,2)，B 1(0,1,3)， 设P (0,0，z )(0≤z ≤3)， 则PD →＝(1,0,2－z )，PB 1→
＝(0,1,3－z )，
∴PD →
·PB 1→
＝0＋0＋(2－z )(3－z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －522－1
4
，
故当z ＝52时，PD →·PB 1→取得最小值为－1
4
.故选B.
6．(2018·沧州模拟)如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0 ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．与a 值有关 答案 B 解析 建立如图所示空间直角坐标系． 则D ′(0,0,1)，E (1－a,1,0)，B ′(1,1,1)，F (0,1－a,0)， ∴D ′E →＝(1－a,1，－1)，B ′F → ＝(－1，－a ，－1)． ∴D ′E →·B ′F →＝(1－a )×(－1)＋1×(－a )＋(－1)×(－1)＝a －1－a ＋1＝0. ∴D ′E → ⊥B ′F → ，即D ′E ⊥B ′F .故选B. 7．(2017·聊城期中)在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( ) A.1 5 B.255 C.55 D.25 答案 C 解析 以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0，0,0)，B (1，0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛ 1 2 ， 0,0 )，E ( 12，12，0 )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，∴PA →＝(0,0，－2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF → ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－12，12，1. 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，