变限积分的性质

变限积分的性质

摘要

变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。

关键词：变限积分；连续性；可微性；奇偶性；单调性；周期性；应用

引言

随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越

来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。

1. 变限积分的概念与理解 1.1变限积分的定义

设f 在[,]a b 上可积，根据定积分的性质，对任何[,]x a b ∈，f 在[,]a x 也可积，于是，由

()(),[,]x

a x f t dt x a

b Φ=∈⎰ （1）

定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上限函数.类似地，又可定义变下限的定积分：

(),(),[,].b

x x f t dt x a b ψ=∈⎰ （2）

Φ与ψ统称为变限积分; 变量复合函数定义为：

()

()

()

()

(),(),(),u x b

u x a

v x v x f t dt f t dt f t dt ⎰

⎰

⎰

其中()u x 、()v x 是定义在[,]αβ上的函数且()u x ，()v x [,]a b ∈.

注：在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量写成x （例如()x

a f x dx ⎰），

以免与积分上、下限的x 混淆。 1.2对变限积分基本概念的理解

例题 ，计算（1）sin ;xdx ⎰（2）0sin ;x

xdx ⎰（3）2sin .o

xdx π

⎰并由此说明不

定积分、定积分、变上限积分三者之间的联系。

解：（1）1I (,)x c =sin cos ;xdx x c =-+⎰ （2）20

0()sin cos 0cos 1cos ;x

x

I x xdx cosx

x x ==-=-=-⎰

（3）2230

sin cos

cos0cos

1.2

I xdx ππ

π

==-=-=⎰

不定积分sin xdx ⎰表示sin x 的含有任意常数的原函数；积分0

sin x

xdx ⎰是

上限变量x 的函数，也是sin x 的一个原函数；而定积分20

sin xdx π

⎰表示

一个数，它是sin x 的任意一个原函数在2

x π=

与0x =两点处函数值之

差。笼统地说，定积分3I 是数，变上限积分2()I x 是一个函数，而不定

积分1(,)I x c 是一族函数。21()I x c +即为1I ；此处取1c =可得，12I I =;取2

x π=

时，23I I =，三者既有联系又有区别。

2. 变限积分的性质 2.1连续性：

若()f x 在[,]a b 上可积，则

()(),()()x

b

a

x

F x f t dt

G x f t dt ==⎰⎰

在[,]a b 都连续.

2.2可微性（原函数存在定理）

若()f x 在[,]a b 上连续，则2.1中的(),()F x G x 在[,]a b 上可导且

()()(),[,]x

a d F x f t dt f x x a

b dx '=

=∈⎰ ()()(),[,]b

x d G x f t dt f x x a b dx '==-∈⎰.

这就是说：函数F 是f 在[,]a b 上的一个原函数;函数G 是f 在[,]a b 上的一个原函数。

注:2.2建立了导数、积分这两个看起来似乎毫不相关的概念之间的内在联系，它证明了“连续函数必有原函数”的基本结论，而且说明了()x

a f t dt

⎰是f 的一个原函数。此2.2的这个结论在微积分学中具有十分重要的地位，被称为“微积分基本定理”. 2.2.1推论

若()f x 在[,]a b 连续，()u x 在[,]αβ上可导且[,]x αβ∈，()[,]u x a b ∈，则()

()()u x a

H x f t dt =⎰

在[,]αβ上可导，且

()(())()H x f u x u x ''=. 2.2.2推论

若()f x 在[,]a b 连续，()u x 、()v x 在[,]αβ上可导且[,]x αβ∈，()u x 、

()[,]v x a b ∈，则()()

()()u x v x H x f t dt =⎰

在[,]αβ上可导，且

()(())()(())().H x f u x u x f v x v x '''=- 2.2.3牛顿-莱布尼茨公式