第一章 1.2.1 第2课时

第2课时排列的综合应用

学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．

知识点排列及其应用

1．排列数公式

A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！

(n－m)！

.

A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.

2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤

类型一无限制条件的排列问题

例1(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

考点排列的应用

题点无限制条件的排列问题

解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A37＝7×6×5＝210(种)不同的送法．

(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．

反思与感悟典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．跟踪训练1(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？

(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？

考点排列的应用

题点无限制条件的排列问题

解(1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A35＝5×4×3＝60(种)．

(2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．

由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步乘法计数原理得共有5×5×5＝125(种)报名方法．

类型二排队问题

命题角度1元素“相邻”与“不相邻”问题

例23名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．

(1)全体站成一排，男、女各站在一起；

(2)全体站成一排，男生必须站在一起；

(3)全体站成一排，男生不能站在一起；

(4)全体站成一排，男、女各不相邻．

考点排列的应用

题点元素“相邻”与“不相邻”问题

解(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法；

女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法；

全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．

由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288(种)排队方法．

(2)三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A55种排法．故有A33·A55＝720(种)排队方法．

(3)先安排女生，共有A44种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A35种排法，故共有A44·A35＝1 440(种)排法．

(4)排好男生后让女生插空，共有A33·A44＝144(种)排法．

反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．跟踪训练2某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？

(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；

(2)2个唱歌节目互不相邻；

(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．

考点排列的应用

题点元素“相邻”与“不相邻”问题

解(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440(种)排法．

(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240(种)排法．

(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880(种)排法．

命题角度2元素“在”与“不在”问题

例3六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

(1)甲不能在两端；

(2)甲、乙必须在两端；

(3)甲不在最左端，乙不在最右端．

考点排列的应用

题点元素“在”与“不在”问题

解(1)先考虑甲有A14种方案，再考虑其余5人全排列，故N＝A14·A55＝480(种)；

(2)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余4人全排列，故N＝A22·A44＝48(种)；

(3)方法一甲在最左端的站法有A55种，乙在最右端的站法有A55种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有A44种，共有A66－2A55＋A44＝504(种)站法．

方法二以元素甲分类可分为两类：a.甲站最右端有A55种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在最右端有A14·A14·A44种，故共有A55＋A14·A14·A44＝504(种)站法．

反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法

(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．

(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置