高等数学讲义

目录

第一章函数 (1)

第二章极限与连续 (5)

§1 数列极限

§2 函数的极限

§3 无穷小与无穷大

§4 极限的性质及四则运算法则

§5 无穷的比较

§6 数列极限

§7 连续函数的运算法则

§8 初等函数的连续性

§9 闭区间上连续函数的性质

第三章导数与微分 (15)

§1 导数的概念

§2 导数的运算法则

§3 反函数的导数

§4 复合函数的导数

§5 隐函数的导数

§6 参数方程所确定的函数的导数

§7 高阶导数

§8 微分

第四章微分中值定理与导数的应用 (26)

§1 中值定理

§2 洛必达法则

§3 函数单调性的判别法

§4 函数的极值和最值

§5 曲线的凹凸与渐进线

§6 函数图形的描绘

第五章不定积分 (35)

§1 原函数与不定积分

§2 不定积分的性质

§3 不定积分的计算

第六章定积分 (40)

§1 定积分的概念

§2 定积分的性质

§3 微积分基本定理

§4 定积分的计算

第七章定积分的应用 (47)

§1 定积分的几何应用

§2 定积分的物理应用

高等数学讲义

第一章函数

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求 1.理解函数的概念．

2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念．

3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.

4.会建立简单实际问题的函数模型. （二） 内容提要 1.函数的定义 (1) 函数的定义

定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.

当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数)(x f y =在点0

x 处的函数值，记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}

D x x f y y ∈=),(称为函数的值域.

定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为

B D f y x f →→: :或,

y 称为x 对应的函数值，记为

D x x f y ∈=),(,

其中，x 称为自变量，y 称为因变量.

由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数)(x f y =中，f 表示函数，)(x f 是对应于自变量x 的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x 处的函数值y 称为函数，并用)(x f y =的形式表示y 是x 的函数.但应正确理

解，函数的本质是指对应规则f .例如104(2

3

-+=x x x f ）

就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为

10)(4)()(23-+=f

就是一个函数.

(2) 函数的两要素

函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2

v z x y ==与，就是相同的函数.

2． 函数的三种表示方法 (1) 图像法 (2) 表格法 (3) 公式法

在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况：

① 分段函数

在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如

就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.

② 用参数方程确定的函数

用参数方程 ⎩

⎨⎧ψ=ϕ=)()

(t y t x （t ∈Ι）

表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数

)]1,1[(12-∈-=x x y 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨

⎧=t t

t

y 表示. ③ 隐函数

如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该 方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程

01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.

注意 能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把 一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x

可以化成显函数

x

y x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .

3． 函数的四种特性

设函数)(x f y =的定义域为区间D ，函数的四种特性如下表所示.

函数的四种特性表

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,

20,,0,1)(2x x x x x x x f