结构力学——几何构造分析

结构力学
傅向荣
第二章 结构的几何构造分析
结构分析的第一步。。。
由若干杆件用各种结点连接而成的杆件体系， 当能承受一定范围内任意荷载时，称为杆件结构。 不能承受任意荷载的体系称为机构。土木等工程应 用的都是结构，但结构的组成方式不同将影响其力 学性能和分析方法。因此，分析结构受力、变形之 前，必须首先了解结构的组成。 实际结构中的构件在外界因素作用下都是可变 形的，但在小变形的情形下，分析结构组成时，其 变形可以忽略不计，因而所有构件均将视为刚体。
刚片为一直杆时称为梁式结构。
图2-9
需要注意的是： • 当铰由两链 杆构成时， 规则叙述改 为：两个刚 片用三个既 不平行也不 交于一点的 链杆相连构 成静定结构， 如 图 2-10b 、 c所示。
(a) 一铰一杆
(c) 一虚铰一杆 (b) 三杆情况 图2-10 单体(或联合)结构
• 若链杆通过铰，则所组成的体系为瞬变体系， 图所示的即为瞬变体系。
• 刚片的形状是可以任意转换的，例如图2-8a三铰 刚架中的折杆可以换成直杆。 • 三个铰可以是真实铰，也可以是二链杆组成的 虚铰，如图2-8c所示。 • 若三铰共线，则为瞬变体系，例如图2-6d和图28d所示之体系。
规则2 两刚片规则
两个刚片用一个单铰和一个不通过铰的链杆 相连可构成静定结构，称为单体或联合结构，当
n=3
每个结点有 多少个 自由度呢？ n=2
每个单铰 能使体系减少 多少个自由度 呢？ s=2
每个单链杆 能使体系减少 多少个 自由度呢？ s=1
每个单刚结点 能使体系减少 多少个 自由度呢？ s=3
刚片增减法
§2-3 体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数 减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b) m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
的静定结构基础上，通过增加二元体组成新的静定 结构，如此组成的结构称为主从结构，基础部分称 为主结构或基本部分，后增加的二元体部分称为从 结构或附属部分。图2-13所示之结构均为主从结构。
C
附属部分 F E D B 基本部分
附属部分
A
(a)
附属部分 基本部分
(b)
(c) 图2-13 主从结构
需要指出的是， 结构力学中，一般并不是应
例如三铰拱
大地、AC、 无多余几何不变 BC为刚片;A、B、C为单铰
2. 约束的等价性
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何 不变体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。
F E
虚铰---联结两个刚片的两根相交链杆的作用，相 当于在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
o
o
等价
o 称为虚铰
图2-3
铰与链杆的关系
图2-4
刚结与链杆的关系
一辆这路上行驶的自行车有几个 自由度？哪几个？
2-1-3 约束分类
根据对自由度的影响，体系中的约束可分为 两类： • 除去约束后，体系 的自由度将增加， 这类约束称为必要 约 束 ， 如 图 2-5a 中 结构除去水平链杆 A后，原来的结构 变为图 2-5b 所示的 可动体系，因此A 是必要约束。
F
图2-15
A
B
解：首先在基础上依次增加 A-B-C 和 C-D-B 两个二元
体，并将所得部分视为一刚片；再将 EF部分视 为另一刚片。该两刚片通过链杆 ED 和 F 处两根 水平链杆相联，而这三根链杆既不全交于一点 又不全平行，故该体系是几何不变的，且无多
余约束。
[例题2-3] 试对图2-16所示体系进行几何组成分析。
基本概Baidu Nhomakorabea回顾
几何不变体系
几何可变体系
结构几何构造分析——判定体系是否几何可 变，对于结构，区分静定和超静定的组成。 刚片(rigid plate)——平面几何不变体。
形状可任意替换
平面体系的自由度
(degree of freedom of planar system)
自由度-- 确定物体位置所需要的独立坐标数目 体系运动时可独立改变的几何参数数目
构的基础上逐次增加两个杆按规则 3 构成，如
图2-14c所示。也可如图按相反次序依次撤除两
杆，使体系简化后再分析。两种方法分析结果
该体系都是无多余约束的几何不变体系，可作 为静定(构架)结构。
[例题2-2] 试对图2-15所示体系进行几何组成分析。
E
C D B F C A C D B
A
B
A
E C D
C B D
I
A
II
III
图2-16
解：将 AB 、BED和基础分别作为刚片 I 、II 、III 。 刚片I和II用铰B相联；刚片I和III用铰A相联； 刚片II和III用虚铰C (D和E两处支座链杆的交 点 ) 相联。因三铰在一直线上，故该体系为瞬 变体系。
作业： 2-1(a)(c) 2-2 2-3(c)(d)
瞬变体系的其它几种情况：
瞬 变 体 系
常变体系
结构的几何构造分析 两类方法
• 两类方法 • 1. 刚片增减法 • 基本原理：根据三刚片规则判断结构 是否为无多余约束的几何不变体。 • 2. 自由度计算法 • 计算结构自由度W，以判断结构的几 何构造性质。W=(3m+2j)-(3g+2h+b)
每个自由刚片有 多少个 自由度呢？
用这些规则构造静定结构，而是用以判定一个体系
是否属于几何不变，是否具有多余约束，或者分析 体系的组成顺序以便选取计算方法等等。
2-2-2 组成分析举例
[例题2-1] 分析图2-14a所示体系的几何组成
加二元体 减二元体
(a)
(b) 图2-14
(c)
解： 图2-14a所示体系可视为在图2-14b所示静定结
几何可变体系 (形状、位置可 变)
(a) 形状位置都不变
(b) 形状可变
(c) 位置可变
(d) 形状可微小变化
(e) 多三个约束
(f) 多一个约束
图2-6
杆件体系
土木和水利等工程结构，都必须是几何不变体系。
根据静力特征，结构可分为静定和超静定的， 前者可由平衡方程确定全部未知约束反力和内力， 后者则不能：
(a) 超静定
A C
B
(b) 几何常变
•
除去约束后， 体系的自由 度不变，这 类约束称为 多余约束。
A
(a) 超静定
C
B
(c) 静定 图2-5 多余约束和必要约束
2-1-4 体系的分类
几何不变体系 (形状、位置不 变) 杆件体系 常变体系 (图2-6b、c机构) 瞬变体系 (图2-6d) 无多余约束 (图2-6a静定) 有多余约束 (图2-6e、f超静定)

o
(a) n=2
(b) n=3
图2-1
自由点与自由刚体的自由度
2-1-2 约束
能减少体系自由度的装置称为 约束 ( 有时也 称联系)，能减少s个自由度的装置称为s个约束。 常见的约束有：
单铰 仅连接两个刚 片的铰称为单铰，如图 2-2a
o
y
1
xA A yA
2
x
链杆 仅用于将两个
(a) 单铰A s=2
C B
n=4
x
A
y
两相交链杆构成一虚铰
复铰 等于多少个 单铰？
1连接n个刚片的复铰 = (n-1)个单铰
A
A
单刚结点 复刚结点 n-1个 单链杆 复链杆
B
2n-3个 连接n个铰的 复链杆 等于多少个 单链杆？
连接n个杆的 复刚结点等于多 少个单刚结点？
三角形联结规律
三刚片
两刚片
一刚片 （二元体）
y 2 2 3 A 11 x
刚片连接在一起的两端
铰 杆。 结的杆件称为链杆。 图 2-2b 中之 12 杆即为链
xA y A o
(b) 单铰杆12 s=1
单刚结点 仅连 接两杆的刚结点， 图 2-2c 所示之 B 处即 为单刚结点。
y B
A xA y A o
x
(c) 单刚结B s=3
同时连接多个刚片的铰、链杆和刚结点分别称 为复铰、复链杆、复刚结点。分别如图2-2d、 e、 f 所示： 这些约束的约束数s及相当的单铰、(单)链杆和
§2-1 基本概念 2-1-1 自由度
自由度是指确定体系空间位置所需的独立坐
标数，或体系运动时可以独立改变的几何参数的
数目，自由度记作n。
根据上述自由度定义，图 2-1 所示之平面的一 自由点 A 以及一自由平面刚体 AB( 也称刚片，其形 状任意)的自由度分别为n=2, n=3,
y x1 A y1 x y xA A yA x B
2-2-1 静定结构组成规则
规则1 三刚片规则
三个刚片用 三个不共线单铰 两两相连可组成 一个静定结构，
B
它们统称为三铰
结构。 图2-7
根据这一规则可构造出如图2-8所示的各种三铰结构。
(a) 三铰刚架
(b) 三铰拱
(c) 有虚铰情况 图2-8
(d) 三铰重合体系 三铰结构和体系
需要注意的是：
如何减二元体？
分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
加减二元体
4. 内部大刚片定义的灵活性
试分析图示体系的几何组成。 是什么 体系？ 有二元 体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
无多几何不变
Ⅱ
O12
找 刚 片 O 、 找 虚 铰
23
Ⅲ
Ⅰ
O13
单刚结点个数是多少呢？
复铰
复刚结
(d)一铰连接多根杆 (e)一杆连接多根杆 (f)多杆刚结
图2-2 约束
由图 2-2 可以归纳得到， 连接 n 个刚片的复铰 相当于 (n-1) 个单数，相当 于 2(n-1) 个约束； n 个刚 片之间复刚结点相当于 (n-1) 个单刚结点，相当于 3(n-1) 个约束。联结三点的链杆，将原来结点的六 个自由度减少为整体的三个自由度，因而相当于三 个约束，即相当于三根简单链杆。一般说来，联结
图2-11 瞬变体系
规则3 二元体规则
在体系上用两个不共线杆件或刚片连接一个 新结点，这种产生新结点的装置称为二元体，图 2-12a符合定义为二元体，而图2-12b因为不符合上 述定义条件，因此不是二元体。
(a)
图2-12
(b)
二元体和非二元体
基于二元体的定义，在任意一体系上加二元体
或减二元体都不会改变体系的可变性。 利用加二元体规则，可在一个按上述规则构成
如果将链杆视为一刚片， 则三规律等价
三角形规律的应用技巧
• • • • • 1. 刚片的广义化 2. 约束的等价性 3. 二元体增减的等效性 4. 内部大刚片定义的灵活性 5. 瞬变体系的多样性
1. 刚片的广义化
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点.
三刚片规则： 三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
平面内一点
x y
n=2
平面刚体——刚片
B
x
A

y
n=3
约束 (constraint)
约束--减少自由度的装置。 一根 链杆 为 一个 约束 S=1
n=3 n=2 平面刚体——刚片
x
铰
α
y
β
单铰联后 n=4
每一自由刚片3个自由度 两个自由刚片共有6个自由度
1个单铰 = 2个约束
S=2
两刚片用两链杆连接
A
C
D
E
D
E
如何才能不变？
B
可变吗？ 有多余吗？
3. 二元体增减的等效性
二元体---不在一直线上的两根链杆 连结一个新结点的装置。 二元体规则：
C
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
有二元 有 体吗？
是什么 体系？
O是虚 O不是 铰吗？
O
无多不变 II
加二元体组成结构 减二元体简化分析
结构 (几何不变) 静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结 构) 无多余约束
超静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合 结构) 有多余约束
不同静力特征的结构其分析计算方法是不同的。 因此，要正确分析必须首先准确无误地判断体系的 可变性以及静定和超静定性质。
§2-2 静定结构的组成规则
静定结构 — 几何特征为无多余约束几何不变。
行吗？
瞬变体系
它可 变吗？
找虚铰 无多几何不变
F
D E
G
找刚片 无多几何不变
C
F
D
内部不 变性
E 找刚片
A B
5. 瞬变体系的多样性
瞬变体系
A C
P
B
不能平衡 C1 微小位移后，不能继续位移 瞬变体系(instantaneously unstable system) --原为几何可变，经微小位移后即转化为 几何不变的体系。
n个点的的复杂链杆相当于(2n-3)根简单链杆。
链杆、单铰和刚结 点从运动的可能性或从 所提供的约束力方面考 虑，可以如图 2-3 和 2-4 所示互相代替，也即双 向箭头 () 所表示的是 相互可以等价替换的。 例 如 图 1-3 相 交 两 链 杆 等价于一个实铰，延长 线相交的两链杆等价于 一个虚铰等等。