Mathematica微积分运算命令与例题

第四章

微积分运算命令与例题

极限、导数和积分是高等数学中的主要概念和运算，如果你在科研中遇到较复杂的求极限、求导数或求积分问题，Mathematica 可以帮你快速解决这些问题。 Mathematica 提供了方便的命令使这些运算能在计算机上实现，使一些难题迎刃而解。

4.1 求极限运算

极限的概念是整个高等数学的基础，对表达式进行极限分析也是数学里很重要的计算分析。Mathematica 提供了计算函数极限的命令的一般形式为：

Limit[函数, 极限过程]

具体命令形式为

命令形式1:Limit[f, x->x0]

功能:计算()x f lim 0

x x → , 其中f 是x 的函数。 命令形式2:Limit[f, x->x0, Direction->1]

功能:计算()x f lim 0

-x x →，即求左极限, 其中f 是x 的函数。 命令形式3:Limit[f, x->x0, Direction->-1]

功能:计算()x f lim 0

x x +→，即求右极限，其中f 是x 的函数。 注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Mathematica 的默认状态为求右极限。

例题：

例1. 求极限())11ln 1(lim 2

21--→x x x x 解：Mathematica 命令为

In[1]:=Limit[1/(x Log[x]^2)-1/(x-1)^2, x->1]

Out[1]=12

1 此极限的计算较难，用Mathematica 很容易得结果。

例2. 求极限n

n n ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞→11lim 解：Mathematica 命令为

In[2]:=Limit[(1+1/n)^n, n->Infinity]

Out[2]=E

例3 写出求函数x

e 1在x->0的三个极限命令

解：Mathematica 命令为

1.Limit[Exp[1/x], x->0]

2.Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->1]

3.Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->-1]

读者可以比较其结果，观察区别。

例4.求()

20

20022lim ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x t x

t x dx e t dx e 解：Mathematica 命令为

In[3]:=Limit[Integrate[Exp[t^2], {t,0,x}]^2/Integrate[t Exp[t^2]^2,{t,0,x}], x->0]

Out[3]=2

命令中的“Integrate ”表示求定积分（见4.4节）

例5求极限1)(arctan lim 202+⎰+∞→x dt t x

x

解:若输入命令

In[4]:=Limit[ Integrate[ArcTan[t]^2, {t,0,x}] / Sqrt[1+x^2] , x->+Infinity]

屏幕会出现如下的红色英文提示信息:

On::none: Message SeriesData::csa not found.

……………………………………………………

ComplexInfinity + <<1>> encountered.

说明不能得出正确结果。此时可以借助人工处理，如用一次洛必达法则后再求极限:

In[5]:=Limit[ArcTan[x]^2/(x/Sqrt[1+x^2]), x->Infinity] Out[5]=4

Pi 2

4.2 求导数与微分

4.2.1 求一元函数的导数与微分

导数是函数增量与自变量增量之比的极限，一元函数求导有显函数求导、参数方程求导和隐函数求导，Mathematica 对应的命令有：

显函数求导

命令形式1: D[f, x] 功能:求函数f 对x 的偏导数。

命令形式2: D[f, {x, n}] 功能:求函数f 对x 的n 阶偏导数。

例6:变上限函数dt t x f x ⎰-=2

021)(求导

解：Mathematica 命令为

In[6]:=D[Integrate[Sqrt[1-t^2], {t,0,x^2}], x]

Out[6]= ]/2x 2xSqrt[1]

x Sqrt[12x ]x Sqrt[12x 445

4-+--- In[7]:=Simplify[%]

Out[7]= ]x 2x Sqrt[14

-

● 参数方程求导

对参数方程⎩

⎨⎧==y(t)y x(t)x 所确定的函数y=f(x)，根据公式dt dx dt dy dx dy //=和命令形式1，可用三个Mathematica 命令实现对参数方程的求导:

r=D[x, t]； s=D[y,t]； Simplify[s/r]

或用Mathematica 自定义一个函数：

pD[x_, y_, t_]:=Module[{s=D[y,t], r=D[x,t]}, Simplify[s/r]]

来实现。

例7.求参数方程⎩⎨⎧=-=t

t y t t x cos )sin 1(的一阶导数。

解:Mathematica 命令

In[8]:=x=t*(1-Sin[t]);y=t*Cos[t]; s=D[y,t]; r=D[x,t]; Simplify[s/r]

Cos[t] - t Sin[t]

Out[8]= ---------------------

1 - t Cos[t] - Sin[t]

或

In[9]:= pD[x_,y_,t_]:=Module[{s=D[y,t], r=D[x,t]}, Simplify[s/r]]

In[10]:= pD[t*(1-Sin[t] ), t*Cos[t], t]

Cos[t] - t Sin[t]

Out[10]= -----------------------

1 - t Cos[t] - Sin[t]

● 隐函数求导