导数的应用(单调性、极值、最值)
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(4) 求极值.
练习：P76 2， P93 四、11
定理(第二充分条件)
设 f ( x)在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 , 那末 (1) 当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x)在 x0处取得
极大值; (2) 当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x)在 x0处取得
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
单调区间为 (,0]， [0,).
练习：P90 1，3
二、极值情形
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
1、极值的定义：
设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
2、函数极值的求法： 定理(必要条件) 设 f ( x)在点 x0处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f ( x0 ) 0 .
复习：导数与微分的概念
2.7 导数的应用
一、 函数的单调性
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
设 y f ( x) 在[a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导
1、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单增；
2、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单减.
例1 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 y ex 1, 且 D (, ).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
例2 确定函数 f ( x) 2x 3 9x 2
12x 3的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x)
0
0
极
极
f (x)
大
值
小 值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
f ( x) x3 3x2 9x 5图形如下
M
m
求可导函数极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理 (第一充分条件)
设函数 f (x)
内可导，
在
x0
处连续，在点 x0
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f (x)
符号相同,则 f ( x)在 x0处无极值.
如图所示：
y
o
x0
x
y
o
x0
x
y
o
x0
x
(是极值点情形)
y
o
x0
x
(非极值点情形)
例 4 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
f (2) 18 0, 故极小值 f (2) 48. f ( x) x3 3x2 24x 20 图形如下
M
m
注意: 当 f ( x0 ) 0 时， f ( x) 在点 x0处不一定取得 极值，此时，仍需用第一充分条件判别.
注意: 函数的不可导点也可能是函数的极值点.
2
例6 求出函数 f ( x) 1 ( x 2)3的极值.
的某一去心邻域
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f ( x) 0; 而 x ( x0 , x0 ),
有 f ( x) 0; ，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f ( x) 0; 而 x ( x0 , x0 )
有 f ( x) 0; ，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
通常用列表讨论。
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
百度文库
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
极小值.
例5 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
练习：P76 2， P93 四、11
定理(第二充分条件)
设 f ( x)在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 , 那末 (1) 当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x)在 x0处取得
极大值; (2) 当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x)在 x0处取得
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
单调区间为 (,0]， [0,).
练习：P90 1，3
二、极值情形
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
1、极值的定义：
设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
2、函数极值的求法： 定理(必要条件) 设 f ( x)在点 x0处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f ( x0 ) 0 .
复习：导数与微分的概念
2.7 导数的应用
一、 函数的单调性
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
设 y f ( x) 在[a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导
1、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单增；
2、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单减.
例1 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 y ex 1, 且 D (, ).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
例2 确定函数 f ( x) 2x 3 9x 2
12x 3的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x)
0
0
极
极
f (x)
大
值
小 值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
f ( x) x3 3x2 9x 5图形如下
M
m
求可导函数极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理 (第一充分条件)
设函数 f (x)
内可导，
在
x0
处连续，在点 x0
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f (x)
符号相同,则 f ( x)在 x0处无极值.
如图所示：
y
o
x0
x
y
o
x0
x
y
o
x0
x
(是极值点情形)
y
o
x0
x
(非极值点情形)
例 4 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
f (2) 18 0, 故极小值 f (2) 48. f ( x) x3 3x2 24x 20 图形如下
M
m
注意: 当 f ( x0 ) 0 时， f ( x) 在点 x0处不一定取得 极值，此时，仍需用第一充分条件判别.
注意: 函数的不可导点也可能是函数的极值点.
2
例6 求出函数 f ( x) 1 ( x 2)3的极值.
的某一去心邻域
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f ( x) 0; 而 x ( x0 , x0 ),
有 f ( x) 0; ，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f ( x) 0; 而 x ( x0 , x0 )
有 f ( x) 0; ，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
通常用列表讨论。
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
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当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
极小值.
例5 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,