利息理论课件11

( E )上述三个式子只有(1)和(3)式正确
第六节 连续变额年金
在上一节,如果假设每个利息结转周期的 支付m次数趋于无穷,则相应的年金是连续
递增年金.若用(Ia)n 表示连续递增年金的 现值,则有:
( Ia )n
lim (
m
I
(
m)a)(nm)
lim
m
a(m) n i
nvn
(m)
an nvn
付9年,以后每年末支付1,直到永远,年利率4%,计算 此年金的现值
(A)117
(B)119
(C)121
(D)123
(E)125
解 : 此年金的现值为:
PV=10a10
(Da)9
v10 1v19 i
108.1109 9 7.43530.6756 0.4746
0.04
0.04
119.40
第五节 每个利息结转周期支付m次的变额年金
k
k
式(1)两边同时乘以(1 i)k ,有
A(1 i)k 1 2vk ... (n 1)vn2k n vnk (2)
k
k
(2) (1),得 : A[(1 i)k 1] (1 vk v2k ... vnk ) n vn
k an n vn
ak k an n vn
A ak k isk
如果用(I(m)a)(nm)表示其现值, 则有:
(I(m)a
)(m) n
1 m2
1
(v m
2
2v m
3
3v m
...
mn vn )
1
2
3
令R=v m 2v m 3v m ... mn vn ,则
1
R(1+i)m
1
1 2v m
2
3v m
n 1
... mn.v m
1
R[(1+i)m
ir
二、例题:一项年金在第一末的付款为1000元, 以后每年增长10%,年金总的付款次数为10次. 如果年实际利率为5%,这项年金的现值.
解 : 这是一项按几何级数增长的年金.
根据求其现值公式可求得其现值为:
1000
1-(
1.1 1.05
)10
11846.66(元)
0.05 0.10
课堂练习:某人每年初在银行存款,共存10年, 前5年每年存入1000元,后5年每年存款比前 一年增长5%,年收益率为8%，计算第10年末 该存款的积累值.
第四节 每个支付周期结转k次利息的变额年金
一、递增年金
利息结转周期(n)1 2 k-1 k
n-k n-k+1 n-1 n
年金支付周期(n/k)
1 n/k-1
n/k
每个支付周期结转k次利息的递增年金
如果用A表示该项年金的现值, 则有 :
A vk 2v2k ... (n 1)vnk n vn(1)
课前练习 若年金在第k年末的给付额为 k;1 k n 2n-k+1;n<k 2n 求该年金在第1年初的现值. (A)(an-1 )(an1 ) (B))(an )(an1 ) (C)(an )(an1 ) (D)(an )(an ) (E)(an )2
解 : 该年金的现值为:
(Ia)n vn ( Da)n
解 : 这里m 4,公式中的首次付款额 1 , 16
而本例中所要计算的年金的首次付款为
1000.它是公式付款额1000 1 16000倍, 16
V
(0)
16000
a(4) 5
5v5
i(4)
16000
1 v5
d (4) i(
4)
5v5
通过查表知,i=0.08时,i(4) 0.077706, d (4) 0.076225, v5 0.68058 V (0) 1600010.135494 162167.9(元) V (5) V (0) (1 0.08)5 238277.85(元)
1]
1
(1 v m
2
vm
....
v
n
1 m
)
nm
v
n
上式两边同时乘以m,有:
R i(m) m2an(m) m2n vn
(I(m)a)(nm)
R m2
a(m) n
nv n
i(m)
例题:某期末付年金每年付款4次,首次付款为 1000元,以后每次付款较前一次增加1000元, 共付款5年,年利率为8%,计算第5年末的年金 积累值.
(A)16605
(B)16606
(C)16607
(D)16608
(E)16609
解 : 该年金的积累值为 : 1000s50.08 (1 0.08)5
1 (1 0.05)5 1050(1 0.08) 1 0.08 (1 0.08)5
0.08 0.05 9309.5584 6756.628 16606.73(元)
一、递减年金
利息结转周期(n)1 2 k-1 k
年金支付周期(n/k)
n/k
n-k n-k+1 n-1 n
2
1
每个支付周期结转k次利息的递减年金
如果仍用A表示该项年金的现值,则有
A n vk (n 1)v2k (n 2)v3k ... 2vnk vn(1)
kk
k
式(1)两边同时乘以(1+i)k , 有
A i r v[1 (1 r )n ]
1 i
1 i
1 (1 r )n A 1i
ir
(3)当r i时,上述年金的现值存在极限,即当 n 时,可以得到上述永续年金的现值为 1 ,
ir 当r i时,上述极限发散,所以永续年金不存在现值. (4)上述按几何级数递增年金的终值为:
1 (1 r)n A(1+i)n 1 i (1 i)n
例题:延期一年连续变化的年金共付款13 年,在时刻t时,年付款率为t2-1,t时刻利息 强度为(1+t)-1,计算该年金现值
解:该年金的现值为:
V(0)=
14(t2
1)e
t
0
1 1 s
ds
dt
1
14
1 (t 1)dt
84.5
课堂练习:
若t
1 1 t
, 写出an
的表示式.
( A) ln(n 1)
A(1 i)k n (n 1)vk (n 2)v2k ... 2vn2k vnk (2)
kk
k
(2) (1)得 :
A[(1 i)k 1] n (vk v2k ... vnk vn ) k
n an k sk
n an
k A
sk
isk
课堂练习: 一年金前10年每年末支付10,然后每年递减1共支
用(Ia)(nm) (表示该项年金的现值, 有 : (Ia)(nm) a(1m)(1 2v 3v2 ... nvn1)
i i(m)
a1
an
an
nvn i(m)
nvn d
年金支付周期(nm)
1 m 1 m m2 m2 m2
利息结转周期(n) 1
mn 1 mn m2 m2
n-1
n
每个利息结转周期支付次的m递增年金
连续递增年金现值的定义公式为:
( Ia )n
n t vtdt
0
上式给出了在时刻t支付t元,一共支付n个利息
结转周期的连续递增年金的现值.
如果在时刻t支付f(t),则一般连续年金的现值 公式可表示为:
n f (t) vtdt 0
如果利息力 为常数, 则一般连续年金的现值
公式可表示为:
n f (t) e tdt 0
(B)1n(n)
(C) ln(n 1)
(D) ln(n2 1)
(E) ln(n2 1)
an
n vt dt
0
n
e
t
0
1 1
s
ds
dt
0
n eln(1t )dt 0
n 1 dt
0 1 t
ln(1 n)
(1)当r=i时,
上述年金的现值为A=nv=
n 1+i
(2)当r i时, 上式两边同乘以v(1+r),有
v(1+r)A=v2 (1 r) v3 (1 r)2 ... vn1(1 r)n (2)
(1) (2),得 :
[1 v(1 r)]A v vn1(1 r)n v[1 (1 r )n ] 1 i
an nvn vn n an
i
i
an nvn nv Байду номын сангаас v nan i
(1 i)an v n an i
(1 v n ) i
an
an
(an )2 an
an (an 1)
an1 an
(1 i)an1 an
an an1
第三节 付款金额按几何级数变化的年金
一 付款金额按几何级数变化的年金的现值 假设在第一年末付款1元,在第二年末付款(1 r)元, 在第三年末付款(1+r)2 , ..., 在第n年末(1+r)n-1 , 那么 这项年金年金就是按几何级数增长的年金,其中公比 (1+r)>0.当r>0时,年金是递增的,当r<0时,年金是递减的. 如果用A表示这类年金的现值,则有: A=v+v2(1 r) ... vn(1 r)n1(1)
年金支付周期(nm) 1/m 1/m1/m
利息结转周期(n) 1
n 1 n n n m mm m
n-1
n
每个利息结转周期支付次的m递增年金
第一个利息结转周期内所有付款的
现值为a(1m), 第二利息结转周期内所有
付款的现值为2va(1m),..., 第n个利息结转
周期内所有付款的现值为nvn-1a1(m) , 如果
假设利息结转周期为n,每个利息结转周期支付m 次款项,那么总的付款次数为nm.,付款又是逐期递 增的,即在第一个利息结转周期末支付1/m元,在第 二利息结转周期末支付2/m元,….在第n个利息结转 周期末支付支付n/m元,那么将会出现下述两种情况.
(1)在同一个利息结转周期的每次付款是相同的,但 后一个利息结转周期比前一个利息结转周期每次多 付1/m元.这样,在第一个利息结转周期,每个付款的 金额为1/m,在第二次利息结转周期,每次的付款金 额为2/m,…,在第n个利息结转周期,每次的付款为 n/m.
课堂练习
对于下述三个式子的判断正确的是:
(1)(I(m)a)(m
1 i(m)d (m)
(2)(I(m)a
)
(m
i(m)
1 d (m)
(3)(I(m)a)(m
1
m[i (m) d ( m) ]
( A)上述三个式子都正确
( B )上述三个式子都错误
(C )上述三个式子只有(1)和(2)式正确
( D )上述三个式子只有(2)和(3)式正确