第1讲 坐标系

第1讲 坐标系

一、知识梳理 1．坐标系 (1)伸缩变换

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩

⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·

x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，

点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．

(2)极坐标系

在平面内取一个定点O 叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．

2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，

则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪

⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）Ｗ. 3．直线的极坐标方程

若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0

－α)．

4．圆的极坐标方程

若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：

ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2

＝0.

常用结论

几种简单曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆

ρ＝2r cos θ(－π

2≤θ<π

2) 圆心为(r ，π

2

)，半径为r 的圆

ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)

过极点，倾斜角为α的直线

(1)θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋

α(ρ∈R )，

(2)θ＝α和θ＝π＋α

过点(a ，0)，与极轴垂直的直线

ρcos θ＝a

(－π2<θ<π

2

) 过点(a ，π

2

)，与极轴平行的直线

ρsin θ＝a

(0<θ<π)

二、教材衍化

1．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )

A ．ρ＝

1cos θ＋sin θ

，0≤θ≤π

2

B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

4

C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

2

D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π

4

解析：选A.y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1

sin θ＋cos θ

，

由0≤x ≤1，得0≤y ≤1，所以θ∈⎣⎡⎦

⎤0，π

2.故选A. 2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．

解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝

⎛⎭⎫1，－π

2. 法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π

2. 答案：⎝

⎛⎭⎫1，－π

2

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )

(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π

3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏 常见误区

|Ｋ(1)极坐标与直角坐标的互化致误；

(2)求极坐标方程不会结合图形求解致误．

1．在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫2，π

6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A ．ρsin θ＝1 B ．ρsin θ＝ 3 C ．ρcos θ＝1

D ．ρcos θ＝ 3

解析：选A.先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝⎛⎭⎫2，π

6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π

6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.

2．在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π

3两点间的距离为________． 解析：

法一(数形结合)：在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6. 法二：因为A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π

3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2，23)． 所以|AB |＝（－2－1）2＋（23＋3）2＝6.

答案：6

平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透)

1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝1

2x ，

y ′＝1

3y

后的图形．

(1)5x ＋2y ＝0； (2)x 2＋y 2＝1.

解：伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12

x ，

y ′＝13y ，则⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，

y ＝3y ′，

(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线．

(2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2

＝1，为椭圆．

2．求双曲线

C ：x 2－

y 2

64＝1经过φ：⎩

⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，

由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，

y ＝2y ′，