二次函数综合问题(存在性)

二次函数综合性问题（存在性问题）

重点：

1：主要考查方程、函数及基本几何图形（如：三角形、四边形）等知识的应用；2：考查待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想、方程与函数思想以及综合运用数学知识来分析问题、解决问题的能力。

难点：灵活运用数学的基础知识、基本技能和基本数学思想方法正确解决综合性和数学问题

应用举例：

1．如图，已知抛物线c

bx

x

y+

+

-

=2

2的图象与x轴的一个交点为A（2，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（0，-2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，已知点D是抛物线在x轴上方图象上的一动点，△AOD的面积为1, 请判断△AOD是否为等腰三角形？说明理由；

（3）如图2，直线2

2

1

-

=x

y与抛物线交于点Q、C，点E是抛物线在x轴上方图象上的任意一点,过点E作直线EF⊥x轴交QC于点F，是否存在点E，使点E到直线QC的距离与点C到直线EF的距离之比为5

:3,若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

. 解：（1）把点A（2，0）、C（0，-2）代入解析式y=-2x2+bx+c，

得

-8+20

-2

b c

c

⎧+=

⎨

=

⎩

，解得

5

-2

b

c

⎧=

⎨

=

⎩

，

∴抛物线的解析式为：y=-2x2+5x-2．

（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H．

S△AOD=1，AO=2

∴

1

AO DH=1

2

⋅∴DH=1.

因为D在第一象限，所以D的纵坐标为1，且D在抛物线上，

∴-2x2+5x-2=1，解得：x1=1，x2=

3

2

．

∴点D 坐标为（1，1）或（

3

2

，1）． 当点D 为（1，1）时，DH 垂直平分OA ，△AOD 是等腰三角形； 当点D 为（

3

2

，1）时，OD≠AD≠OA ，△AOD 不是等腰三角形． （3）存在点E ，使点E 到直线QC 的距离与点C 到直线EF 的距离之比为5:3．

如图2，过点E 作 EM ⊥QC 于M ，过点C 作CN ⊥EF 于N

设()

2

Em ,252

m m -+-(m ＞0) 1F m ,22m ⎛⎫

∴- ⎪⎝⎭

, ()C 0，-2, ()N m,2-

1

F N =

2

m ，CN=m ∴在Rt △CNF 中，CF=2

522=

+CN FN m △FCN ∽△FEM

∴

CF CN

EF EM

= ,

∴

2m EF

=∴EF=3m 2

EF=2

252

m m -+--(122m -)=2922

m m -+ ∴2932m 22m m -

+= ∴10m =(舍去)，232m = 3

E （，1）2

∴…

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线42

++=bx ax y 交x 轴于A 、B 两点，其中A )04(，-，

B )02(，．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P 是线段AB 上的一点，过点P 作PQ ∥AC ，交BC 于点Q ，连接CP .当△CPQ

的面积最大时，求点P 的坐标；

（3）若点M 是抛物线上一点，且横坐标为3-，点N 是y 轴上一点，在（2）的条件下，

是否存在这样的点N ，使得△MPN 是直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.

26.解：（1）将A )04(，-，B )02(，代入42

++=bx ax y 得： ⎩⎨

⎧=++=+-0

4240

4416b a b a

解得：⎪⎩

⎪⎨

⎧-=-=121b a ∴ 该该抛物线的解析式为：42

1

2+--=x x y

（2）设P （a ，0） ∵ A )04(，-，B )02(，，C )40(， ∴ 直线AC 的解析式为：4+=x y 直线BC 的解析式为：42+-=x y 又∵ PQ ∥AC ，P （a ，0）

∴ 直线PQ 的解析式为：a x y -=

解⎩⎨⎧-=+-=a x y x y 42得：⎪⎩

⎪⎨⎧

+-=

+=34234a y a x ∴ Q )342,34(+-+a a

26题备用图

26题图

26题图

3913823

2243

4222124212

22

++-=

+--=

--

-=+-⋅---⨯=

-=∆∆∆）（）

（）（）（则a a a a a a a a S S S QPB

CPB CPQ ∴ 当1-=a 时，△CPQ 的面积最大

即△CPQ 的面积最大时，点P 的坐标为）（0,1-

（3）存在, 设N ）（b ,0

将3-=x 代入4212+--=x x y 得：25=y ∴ M （3- 则222MD DP MP +=441251322

=++-=）（）（ 222FN MF MN +=4

61

5253222+-=-+=b b b ）（

1222

2

+=+=b OP ON

NP

① 当222NP MN MP =+即

14

61544122+=+-+b b b 时 1049=b ∴ ）（1049

,0N 当

222MN NP MP =+即4

61

5144122+-=++b b b 时

54=b ∴ ）

（5

4

,0N ② 当222MP MN NP =+即4

41

4615122=

+-++b b b 时，此方程无解.

综上所述：）（1049,

0N 或）（5

4

,0N 方法小结：存在性问题是指在题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类数学问题。在题目中常出现“是否存在”的表达语言。解题的策略与方法通常是：先假设具有这种性质的数学对象存在，并以此也作为题目的一个条件来进行正确的推理和运算。若不产生矛盾（比如：得到的方程有解），则说明具有这种性质的数学对象是存在的，由此可得出符合条件的数学对象；反之，则说明具有这种性质的数学对象不存在，也说明了不存在的理由。