向量组的线性相关性

二、向量的运算
1、加法 (a1,a2,...,an ), (b1,b2,...,bn ),
a1 b1, a2 b2 , , an bn
( ) a1 b1, a2 b2 , , an bn
2、数乘 ＝（a1 , a2 ,..., an），k R
即 Ax b
x1
或
(1
,
2
,
..., n
)
x2


b

xn

方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
向量组与矩阵的关系
a11 a12
A


a21
a22


am1
am1
a1n
a2n


amn

按行分块
A


1 2

(0,1,2)T .

3
1 0


2
1 1


1
4 0



1 2

1 0 3 4

1 2 3
(4,4,1)T .
1
1 0


1
1 1


1
4 0
★ 一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★ 两个向量线性相关
它们对应分量成比例
★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
16
二、判别方法
1. 向量组1,2 ,...,s线性相(无)关 方程 x11 x22 ... xss 0(没)有非零解.
设i (ai1 , ai2 , ..., ain )T , 方程组
数，二者必须分清.
§2 向量组的线性相关性
一、向量组的线性相关性定义 线性相关
向量 , 共线 不全为零的数k1, k2使得k1 k2 0 向量 , , 共面 不全为零的数k1, k2,k3使得k1 k2 k3 0
向量 , 不共线 若k1 k2 0,则k1 k2 0 向量 , , 不共面 若k1 k2 k3 0,则k1 k2 k3 0
记作α,β,γ.
ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，
ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，
如：
a1



a2



an
来自百度文库

2、几种特殊向量
1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）. 元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）.
2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）. 3、维数相同的列（行）向量同型. 4、对应分量相等的向量相等.
（8） ( )
三维向量的全体所组成 的集合 R3 { r ( x , y , z )T x, y, z R }
叫做三维向量空间.
n 维向量的全体所组成的 集合 Rn { X ( x1 , x2 , L , xn )T x1 , x2 , L , xn R } 叫做 n 维向量空间 .



41
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2

a21 x1

a22 x2


am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
1 x1 2 x2 n xn b
三、应用举例
例1 设 1 1,1,0T ，2 0,1,1T ， 3 (3,4,0)T
3 1
求

,

,
其中(
,
)

(1
,
2
,
3
)

2 1
1 1

.
解
，




31

22


，
3
1

2

3

1 0 3 0


31 22 3
CH4 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
n维向量的概念 向量组的线性相关性 线性相关性的判别定理 向量组的秩 向量空间
§1 N维向量的概念
一、ｎ维向量（Vector） 1、定义 ｎ个数 a1,a2 , ,an 组成的有序数组
＝（a1 , a2 ,..., an）
称为一个ｎ维向量，其中ai 称为第 i 个分量（坐标）.
k k ka1, ka2, , kan
向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.
3、运算律 (设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数) （1） （交换律）
（2） ( ) ( ) （结合律） （3） O （4） ( ) O （5） 1 （6） () ( ) ( ) （7） ( )
若干个同维数的列向量 (或同维数的行向量 ) 所 组成的集合叫做向量组.
定义3 向量组1,2 ,...,s (s 1)称为线性相关,如果
存在不全为零的数k1 , k2 ,..., ks ,使得
k11 k22 ... kS s 0
否则称线性无关, 即
若k11 k22 ... kSs 0,则k1 k2 ... ks 0



m

ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
其第ｉ个行向量记作
A (1,2 ,...,n )
i ai1, ai2 , , ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j

a2 j

矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维
amj
线性无关
定义 2 设n维向量 ， a1 , a2 , L , am , 若存在 一组实数 k1 , k2 , L , km , 使得
＝k1a1 k2a2 L km am
则称 为向量 a 1 , a 2 , L , am , 的一个线性组合 或称 能由向量 a 1 , a 2 , L , am 线性表示