2.7 第1课时 二次根式及其化简2
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2.7 二次根式
第1课时二次根式及其化简
重点难点提示
本单元重点是二次根式的重要性质:,它是二次根式化简和运算的重要依据。
1.二次根式的重要性质:
要注意以下问题:
(1)因为被开方数a2 ≥0(非负数),所以a可以取任意实数。而是表示算术根,所以
(非负数),即,可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。去掉绝对值符号时,首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。若无法决定,要对其进行讨论。
(2)应用公式化简时,为保证结果的非负性,也避免出现运算上的错误,应首先写成
的形式,然后再去绝对值符号。
2.的区别
(1)a的取值范围不同:中的a必须是非负数。
中的a可以是任何实数。
(2)运算顺序不同,表示对非负数a先开方,再平方。而表示对实数a先平方,再开方。
知识点精析
例1.判断下列各式是否正确
(1)(2)
(3) (4)
(5)
解:根据二次根式知,(1),(2),(3)都是错的,只有(4),(5)是对的。例2.化简
(1) (2) (-1 (3) (0 解:(1) ∵x2+1>0,∴ (2) ∵-1 ∴ =|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7. (3) ∵0 ∴. (4) ==|x-4|+|x-3| 当x≥4时,原式=x-4+x-3=2x-7. 当3≤x<4时,原式=4-x+x-3=1. 当x<3时,原式=4-x-x+3=7-2x。 ∴原式= 说明:对于二次根式的化简,首先应根据算术根的定义写成绝对值的形式。而正确去掉绝对值符号是化简的关键。去掉绝对值符号时应首先判定绝对值符号内代数式值的符号。此类问题,一般可分为两类。第一类是不需要讨论直接化简。属于此类问题一般有以下三种情况①具体数字,此时化简的条件已暗中给定,②恒为非负值或根据题中的隐含条件,如(1)小题。③给出明确的条件,如(2)小题。第二类,需讨论后再化简。当题目中给定的条件不能判定绝对值符号内代数式值的符号时,则需讨论后化简,如(4)小题。 例3.已知a+b=-6, ab=5,求的值。 解:∵ab=5>0 ,∴a,b 同号, 又∵a+b=-6<0,∴a<0, b<0 ∴ . 说明:此题中的隐含条件a<0,b<0不能忽视。否则会出现错误。 例4.化简: 解:原式=|x-6|-|1+2x|+|x+5| 令x-6=0,得x=6,令1+2x=0,得, 令x+5=0,得x=-5. 这样x=6, , x=-5,把数轴分成四段(四个区间)在这五段里分别讨论如下: 当x≥6时,原式=(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2. 当时,原式=-(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2x+10. 当时,原式=-(x-6)-[-(1+2x)]+(x+5)=2x+12. 当x<-5时,原式=-(x-6)+(1+2x)-(x+5)=2. 说明:利用公式,如果绝对值符号里面的代数式的值的符号无法决定,则需要讨论。方法是:令每一个绝对值内的代数式为零,求出对应的“零点”,再用这些“零点”把数轴分成若干个区间,再在每个区间内进行化简。