湖北省黄冈中学自主招生数学试卷

湖北省黄冈中学自主招生数学试卷

一、填空题（每小题5分，共40分）

1．（5分）方程组的解是．

2．（5分）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为．3．（5分）设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为．

4．（5分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、...、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2007)

纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|=．

5．（5分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是．

6．（5分）有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是．

7．（5分）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是．

8．（5分）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．

二、选择题（每小题5分，共40分）

9．（5分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）

A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10

10．（5分）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）

A．B． C．D．

11．（5分）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）

A．≤a≤1 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤2

12．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）

A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元

13．（5分）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）

A． B．C．D．

14．（5分）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则

无阴影两部分的面积之差是（）

A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣

15．（5分）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．

16．（5分）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）

A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%

三、解答题（共40分）

17．（7分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，

（1）若x12+x22=6，求m值；

（2）求的最大值．

18．（7分）如图，开口向下的抛物线y=ax2﹣8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，

（1）求OC的长及的值；

（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．

19．（7分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

家电名称空调彩电冰箱

工时

产值（千元）432

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）

20．（9分）一个家庭有3个孩子，

（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；

（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．

21．（10分）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．（1）求证：PA•PE=PC•PF；

（2）求证：；

（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．

湖北省黄冈中学自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题5分，共40分）

1．（5分）方程组的解是和．

【解答】解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，

由②式又可变化为=26，

把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3=13，再代入又得﹣3=9，

解得ab=﹣27，

又因为a+b=26，

所以解这个方程组得或，

于是（1），解得；

（2），解得．

故答案为和．

2．（5分）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为a=0，b＜0．

【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b 都成立是不可能的，

∴a=0，则左边式子ax=0，

∴b＜0一定成立，

∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．

3．（5分）设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为1．【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，

∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；

当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，

当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，

则最大值与最小值之差为1．

故答案为：1

4．（5分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、...、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2007)

纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|=．

【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），

又∵P2007在y=上，