21.2 二次函数的图象和性质(3)

21.2二次函数图象和性质(3)
【二次函数y=ax2 +c的图象和性质】
知识改变命运 拼搏成就未来
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y 随着 x 的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 最值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
y=x2+1 y=x2－1
抛物线y=x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴,
顶点为(0, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
向上平移 抛物线 y=x2+1 1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2－1 1个单位 y
函数
开口方向
对称 顶 点坐 Y的 标 轴 最值
Y轴 Y轴 Y轴 Y轴
最小值 （ 0， 0） 是 0 最大值 （0,0） 是0
增减性
在对称轴 左侧
Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大
在对称 轴右侧
a＞0
向上
Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小
y=ax2
a＜0 a＞0
向下 向上 向下
（0,c） （0,c）
最小值 Y随x的增 是C 大而减小 最大值 是C
Y随x的增 大而增大
y=ax2+c
a＜0
如图所示，直线L过A（4，0）和B（0，4）两点， 它与二次函数y=ax2• 的图象在第一象限内交于P点， 若△AOP的面积为 4 . （1）求P点的坐标；（2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y=ax2上下平移，使平移后的抛 物线经过点A？
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
解: 列表
描点 连线
y=x2+1 … 10 y=x2-1 … 8
5 3
2 0
1 -1
2 0
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
5 3
y=x2+1 y=x2－1
10 … 8 …
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
(1) 抛物线y=x2+1,y=x2－1的开口方向、对称轴、顶点 各是什么? (2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2有什么关系? （1）抛物线y=x2+1: 开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0,1).
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
1、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+k和 二次函数y=ax2+k的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
y
y
o
x
o
Baidu Nhomakorabea
x
o
x
o
x
A
B
C
D
2、已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那条 抛物线?向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+6
(2)得到抛物线y=2x2－2.4
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形 状 相同，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k 上 平移k 个单位得到， 的图象可由y=ax2的图象向 当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象 向 下 平移 |k| 个单位得到。
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,5) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。 （5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。 6.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐 标为 (-2,5) 点D的坐标为 ( 5 ,7) 或 ( 5 . ,7)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
上加下减
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到.
-10 -5
4
y
2
y=-x2+3
5
O
-2
x
10
函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移 2个单位长度得到.
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 最值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=c
-8
向 下 平移 |c|个单位得到。
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 平移 11个单位得到。 可由 y=4x2的图象向 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口 上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 c ； 当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 下 ，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 c 。
抛物线y=x2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1
y=x2
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
观察抛物线y=-x2+2,y=-x2－1与抛物线y=-x2的 关系:
向上平移 抛物线y=-x2 2个单位 抛物线 y=-x2+2
抛物线y=-x2
向下平移 抛物线 y=-x2－1 1个单位
1 2 4、一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y 5 x 3.5
运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的 距离为3.05m。 1、球在空中运行的最大高度是多少米？ 2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ， 则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？
1.二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象是什么？ 答：是抛物线 2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
y=-x2 y=-x2-2
-4
-6
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗? 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 c 个单位得到， 当c〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|, 则 A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4 C.y3>y2>y4>y1 (B )
y2
y1 y3 y4 x2 x4 x3 x1
D.y4>y2>y3>y1
3、已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ D） A. a+c B. a-c C. –c D. c