奥数同余的概念及性质详解过程

第五讲同余的概念和性质

你会解答下面的问题吗？

问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？

这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。

问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？

这个问题也难不倒我们.因为，1993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦应该是星期六。

问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。

同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：

a≡b（modm）. （*）

上式可读作：

a同余于b，模m。

同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：

a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.

例如：①15≡365（mod7），因为365-15=350=7×50。

②56≡20（mod9），因为56-20=36＝9×4。

③90≡0（mod10），因为90-0＝90=10×9。

由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。

例如，表示a是一个偶数，可以写

a≡0（mod 2）

表示b是一个奇数，可以写

b≡1（mod 2）

补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：

a b（modm）

我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。

性质1：a≡a（mod m），（反身性）

这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。

性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。

性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。

性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。

性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。性质6：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。

性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。

注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。

例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）≠1。

请你自己举些例子验证上面的性质。

同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。

例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

解：∵288-214=74=37×2。

∵74-20=54，而3754，

∴7420（mod37）。

例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

分析若先求乘积，再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。

解：∵418≡2（mod13），

814≡8（mod13），1616≡4（mod13），

∴根据同余的性质5可得：

418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。

答：乘积418×814×1616除以13余数是12。

例3 求14389除以7的余数。

分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。

解法1：∵143≡3（mod7）

∴14389≡389（mod 7）

∵89＝64+16+8+1

而32≡2（mod 7），

34≡4（mod7），

38≡16≡2（mod 7），

316≡4（mod 7），

332≡16≡2（mod 7），

364≡4（mod 7）。

∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7），

答：14389除以7的余数是5。

解法2：证得14389≡389（mod 7）后，

36≡32×34≡2×4≡1（mod 7），

∴384≡（36）14≡1（mod 7）。

∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。

∴14389≡5（mod 7）。

例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？

分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次，而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数，因为120≡0（mod 4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。

十位，…上的数码，再设M=a0＋a1＋…＋an，求证：N≡M（mod 9）。

分析首先把整数N改写成关于10的幂的形式，然后利用10≡1（mod 9）。

又∵ 1≡1（mod 9），

10≡1（mod 9），

102≡1（mod 9），