结构力学图乘法详述
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2
三、位移计算的一般步骤: K
t1 t2
K
c2
c1
1
R1
M .N .Q .Rk
R2
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rk ck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 9 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
例：求图示梁中点的挠度。
1 1 3a 3a Pa EI 2 4
求B点的竖向位移。
ql2/2
4
1 1 ql 3l ql B l EI 3 2 4 8 EI 1 1 3ql 2 l B y 0 L 2 EI 3 8 2
2
？ ？
A
2EI l
ql2/32 ql2/8 l/2 l/2
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
MP
EI
B
l/2
P=1
y0
1 1 ql 2 l 3 l 2 B EI 3 8 2 4
3
§6-3
荷载作用下的位移计算
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
重点在于解决荷载作用下应变 、、 的表达式。 一、计算步骤
（1）在荷载作用下建立 M P .N P .QP的方程，可经由荷载内力应力应变 过程推导应变表达式。 （2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
( M N Q )ds
13
折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 ×104Nm2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=625N/m
1 200 2.2 220 2 2 y1 0.8 0.533 3 2 w2 378 2.2 555 3 1 y 2 0.8 0.4 2 1 w3 200 0.8 53.3 3 3 y 3 0.8 0.6 4 w1
4
3 9
S = 9/6 ×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
（4 ）
2
3
S = 9/6 ×（－2×6×2+2×0×3 +6 ×3－0×2） = － 9
6
9
12
b)非标准抛物线乘直线形
a
b
＝
a
b
+
h
h
c d
S l
l
6
(2 ac 2bd ad bc ) 2 hl c d
MP EI
NP EA
QP k GA
10 9
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
1.2
A
A1
MM P NN P kQ QP ds ds ds EI EA GA
4
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P ds EI
7
⑤几种常见图形的面积和形心的位置： a b h l/2
顶点
h
(a+l)/3
l
(b+l)/3
l/2
ω=hl/2 h
顶点
二次抛物线ω=2hl/3 顶点 h 5l/8 h 3l/8 二次抛物线ω=2hl/3
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
顶点
4l/5
三次抛物线ω=hl/4
l/5
(n+1)l/(n+2)
l/(n+2)
8
n次抛物线ω=hl/(n+1)
h
例：求梁B点转角位移。
例：求梁B点竖向线位移。
A
EI
P
B
ql2/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
q B
l/2
Pl/4
l/2
MP
A
l P=1
M
m=1
l 3l/4
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl 2 B l EI 2 4 2 16EI
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
ql2/2 B
ω2
ω2
NP=0
ω1
P=1
l ql/2
y2
y1
N 0
ql2/8
MP
N 1
y3
M
l
ql
l
2 ql 2 ql 3 w3 l 3 8 12 1
l 2 ql/2 1 2 N 3 ql N l l ql y P ql 3 2 1 ql × × 1 2 w 1N w 2 EA y 1 2 EA l y2 l EA 2 3 2 2 4 1 ( M w 1 y1 w 2 y 2 w 3 y 3 ) EI 2 2 2 3 ql 4 1 ql 2 l ql 2 l ql l EI 4 3 4 3 12 2 8 EI 2 2 4 bh N 4 12 h 1 ql 3 ql 4I 15 h 1 2 2 2 M 2 EA 8 EI 3 Al 3 bhl 9 l l 10 900
二、结构位移计算的一般公式
i
i
d ( M N Q )ds
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
d ( M N Q )ds
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
( M N Q )ds
A
EI x1 l/2 x2
P
B
l/2
B
l
0
l
MPM dx EI
2
Px l M P ( x) (0 x ) 2 2 P(l x) l M P ( x) ( x l) 2 2
m=1
0
Px x 1 ( ) dx 2 l EI
l l 2
P(l x) x 1 ( ) dx 2 l EI
l 11ql 4 2 24EI
1
4 1 4 (2 12 0.5 8 0.5) ( 2 8 0.5 2 4 1 8 1 4 0.5) B 6 EI 6 2 20 4 4 0.75 173 EI 3
否则取负。
l/3 c y1
l/3
ω2
b
l/3
Mk
y2
d
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，
（ 1）
6 4
S = 9/6×（2×6×2 +2 ×4×3 +6 ×3+4×2） =111
2
9
3
11
S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15 2） （3） （ 2 3 6 4 6 2 9
3
MP
6kN B 3m
3m
求AB两点的相对水平位移。 A EI常数
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
P=1 P=1
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
18
6
3
36 9
6m 9 9
l( 2ac 2bd ad bc ) 6 1 6
6 2 3 ( 2×36×6 2×18×3 36 ×3 18 ×6) ×6×9× EI 6 3 2 1 1 × × × 3 × 18×3 2 × -756 × 3 36 6 6 EI 3 4 2 3 EI
P
？
5Pl/6 l/2
C
Pl
C
1 l l 5 Pl × × × EI 2 2 2 6 5 Pl 3 48 EI
w y0
l/2
MP
P=1
C
l/2
l/6
10
M
⑦非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形
M M dxw y w y
i k 1 1
a
ω1
Mi
2 2
al 2c d bl c 2d 2 3 3 2 3 3 l( 2ac 2bd ad bc ) 6
6
Pl 2 16 EI
积分常可用图形相乘来代替
§6-5 图乘法
直杆 EI C
位移计算举例
MiMk MiMk 1 EI ds EI dx EI M i M k dx M i是直线 B B 1 1 tg xM k dx M k xtgdx A EI EI A tg B 1 1 y w ×w x0 y tg xd w 0 EI EI EI A
3 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
例： 预应力钢筋混凝土墙板单 点起吊过程中的计算简图。 已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土 容重为25000N/m3，求C点的挠度。 解：q=25000×1×0.025＝625 N/ m
q=625 N/m
A
2.2m
B
C
0.8m
E=3.3 ×1010 N/ m2 I=1/12 ×100×2.53cm4=1.3 ×10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 ×1.30×10-6×3.3×1010 = 3.6465 ×104 N m2
1 0 .5l ql 2 ql 2 l ql 2 l ql 2 2 l2 l 2 EI 6 2 8 2 2 2 8
4 17 ql 1 2 ql l l 0 .5l 256 EI 2 EI 3 32 2 2 2
19
例：试求等截面简支梁C截面的转角。
7kN
求A点水平位移。 2kN/m 50kN.m B
5m
F
35 D 10
10
10
25
5m
C
5m
G 10kN 20
10
E
A
5m 15kN
1kN 20 2kN
5m
1 2 2 25 1 3187 1 5 1 .5 2 5 50 10 5 10 AH 5 50 10 m 1594 . 10 2 3 3 4 2 EI EI 6 2 1 2 5 25 10 2 3 1 1 2 1 10 10 10 10 10 20 10 1018 2 2 3 3
( )
16
求B点竖向位移。
3ql2/2 ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
求θB 12kN.m
MP
4kN 2kN/m
4m
EI
A ql B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN.m
B
4m
EI
5kN 12
MP
l
M
kN.m 4
l
1
M
4
kN.m
8
1 1 3ql 2 2l 2l ql 2 BV l EI 2 2 3 3 8
P
P Pa
？
a
MP
Pa
a 3a 1 Pa a 2 a 2 4 a 2 2 Pa EI 2 32 2 2
a
P=1 a/2 3a/4
a
a/2
23Pa3 24EI
例：求图示梁C点的挠度。
M
1 Pl 2 l Pl 3 DC = = EI 2 6 12 EI
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
( M N Q )ds Rk ck
1
( M N Q )ds Rk ck
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
A
2.2m 378
ω2
MP
B
C
0.8m 200 ω3
ω1
0.8
yFra Baidu bibliotek y1
y3
P=1
M
1 (220 0.533 555 0.4 53.30.6) 210 3 m 0.14 2cm 3.6465
1 C (w1 y1 w2 y 2 w3 y3 ) 0.85EI
q
Mk
dω
dx
ω
x
x0
w y0 MM P dx EI EI 注： ①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
至少有一个是直线。
α Mi=xtgα
Mi
y0 x
y0=x0tgα
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 ③竖标y0取在直线图形中，对应另一（取面积）图形的形心处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号。
（2）桁架
NN P NN P NN Pl ds ds EA EA EA
（3）拱
MM P NN P ds ds EI EA
5
例4：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP 须分段写
M ( x) x l (0 x l )
三、位移计算的一般步骤: K
t1 t2
K
c2
c1
1
R1
M .N .Q .Rk
R2
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rk ck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 9 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
例：求图示梁中点的挠度。
1 1 3a 3a Pa EI 2 4
求B点的竖向位移。
ql2/2
4
1 1 ql 3l ql B l EI 3 2 4 8 EI 1 1 3ql 2 l B y 0 L 2 EI 3 8 2
2
？ ？
A
2EI l
ql2/32 ql2/8 l/2 l/2
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
MP
EI
B
l/2
P=1
y0
1 1 ql 2 l 3 l 2 B EI 3 8 2 4
3
§6-3
荷载作用下的位移计算
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
重点在于解决荷载作用下应变 、、 的表达式。 一、计算步骤
（1）在荷载作用下建立 M P .N P .QP的方程，可经由荷载内力应力应变 过程推导应变表达式。 （2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
( M N Q )ds
13
折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 ×104Nm2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=625N/m
1 200 2.2 220 2 2 y1 0.8 0.533 3 2 w2 378 2.2 555 3 1 y 2 0.8 0.4 2 1 w3 200 0.8 53.3 3 3 y 3 0.8 0.6 4 w1
4
3 9
S = 9/6 ×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
（4 ）
2
3
S = 9/6 ×（－2×6×2+2×0×3 +6 ×3－0×2） = － 9
6
9
12
b)非标准抛物线乘直线形
a
b
＝
a
b
+
h
h
c d
S l
l
6
(2 ac 2bd ad bc ) 2 hl c d
MP EI
NP EA
QP k GA
10 9
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
1.2
A
A1
MM P NN P kQ QP ds ds ds EI EA GA
4
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P ds EI
7
⑤几种常见图形的面积和形心的位置： a b h l/2
顶点
h
(a+l)/3
l
(b+l)/3
l/2
ω=hl/2 h
顶点
二次抛物线ω=2hl/3 顶点 h 5l/8 h 3l/8 二次抛物线ω=2hl/3
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
顶点
4l/5
三次抛物线ω=hl/4
l/5
(n+1)l/(n+2)
l/(n+2)
8
n次抛物线ω=hl/(n+1)
h
例：求梁B点转角位移。
例：求梁B点竖向线位移。
A
EI
P
B
ql2/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
q B
l/2
Pl/4
l/2
MP
A
l P=1
M
m=1
l 3l/4
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl 2 B l EI 2 4 2 16EI
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
ql2/2 B
ω2
ω2
NP=0
ω1
P=1
l ql/2
y2
y1
N 0
ql2/8
MP
N 1
y3
M
l
ql
l
2 ql 2 ql 3 w3 l 3 8 12 1
l 2 ql/2 1 2 N 3 ql N l l ql y P ql 3 2 1 ql × × 1 2 w 1N w 2 EA y 1 2 EA l y2 l EA 2 3 2 2 4 1 ( M w 1 y1 w 2 y 2 w 3 y 3 ) EI 2 2 2 3 ql 4 1 ql 2 l ql 2 l ql l EI 4 3 4 3 12 2 8 EI 2 2 4 bh N 4 12 h 1 ql 3 ql 4I 15 h 1 2 2 2 M 2 EA 8 EI 3 Al 3 bhl 9 l l 10 900
二、结构位移计算的一般公式
i
i
d ( M N Q )ds
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
d ( M N Q )ds
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
( M N Q )ds
A
EI x1 l/2 x2
P
B
l/2
B
l
0
l
MPM dx EI
2
Px l M P ( x) (0 x ) 2 2 P(l x) l M P ( x) ( x l) 2 2
m=1
0
Px x 1 ( ) dx 2 l EI
l l 2
P(l x) x 1 ( ) dx 2 l EI
l 11ql 4 2 24EI
1
4 1 4 (2 12 0.5 8 0.5) ( 2 8 0.5 2 4 1 8 1 4 0.5) B 6 EI 6 2 20 4 4 0.75 173 EI 3
否则取负。
l/3 c y1
l/3
ω2
b
l/3
Mk
y2
d
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，
（ 1）
6 4
S = 9/6×（2×6×2 +2 ×4×3 +6 ×3+4×2） =111
2
9
3
11
S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15 2） （3） （ 2 3 6 4 6 2 9
3
MP
6kN B 3m
3m
求AB两点的相对水平位移。 A EI常数
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
P=1 P=1
M
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18
6
3
36 9
6m 9 9
l( 2ac 2bd ad bc ) 6 1 6
6 2 3 ( 2×36×6 2×18×3 36 ×3 18 ×6) ×6×9× EI 6 3 2 1 1 × × × 3 × 18×3 2 × -756 × 3 36 6 6 EI 3 4 2 3 EI
P
？
5Pl/6 l/2
C
Pl
C
1 l l 5 Pl × × × EI 2 2 2 6 5 Pl 3 48 EI
w y0
l/2
MP
P=1
C
l/2
l/6
10
M
⑦非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形
M M dxw y w y
i k 1 1
a
ω1
Mi
2 2
al 2c d bl c 2d 2 3 3 2 3 3 l( 2ac 2bd ad bc ) 6
6
Pl 2 16 EI
积分常可用图形相乘来代替
§6-5 图乘法
直杆 EI C
位移计算举例
MiMk MiMk 1 EI ds EI dx EI M i M k dx M i是直线 B B 1 1 tg xM k dx M k xtgdx A EI EI A tg B 1 1 y w ×w x0 y tg xd w 0 EI EI EI A
3 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
例： 预应力钢筋混凝土墙板单 点起吊过程中的计算简图。 已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土 容重为25000N/m3，求C点的挠度。 解：q=25000×1×0.025＝625 N/ m
q=625 N/m
A
2.2m
B
C
0.8m
E=3.3 ×1010 N/ m2 I=1/12 ×100×2.53cm4=1.3 ×10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 ×1.30×10-6×3.3×1010 = 3.6465 ×104 N m2
1 0 .5l ql 2 ql 2 l ql 2 l ql 2 2 l2 l 2 EI 6 2 8 2 2 2 8
4 17 ql 1 2 ql l l 0 .5l 256 EI 2 EI 3 32 2 2 2
19
例：试求等截面简支梁C截面的转角。
7kN
求A点水平位移。 2kN/m 50kN.m B
5m
F
35 D 10
10
10
25
5m
C
5m
G 10kN 20
10
E
A
5m 15kN
1kN 20 2kN
5m
1 2 2 25 1 3187 1 5 1 .5 2 5 50 10 5 10 AH 5 50 10 m 1594 . 10 2 3 3 4 2 EI EI 6 2 1 2 5 25 10 2 3 1 1 2 1 10 10 10 10 10 20 10 1018 2 2 3 3
( )
16
求B点竖向位移。
3ql2/2 ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
求θB 12kN.m
MP
4kN 2kN/m
4m
EI
A ql B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN.m
B
4m
EI
5kN 12
MP
l
M
kN.m 4
l
1
M
4
kN.m
8
1 1 3ql 2 2l 2l ql 2 BV l EI 2 2 3 3 8
P
P Pa
？
a
MP
Pa
a 3a 1 Pa a 2 a 2 4 a 2 2 Pa EI 2 32 2 2
a
P=1 a/2 3a/4
a
a/2
23Pa3 24EI
例：求图示梁C点的挠度。
M
1 Pl 2 l Pl 3 DC = = EI 2 6 12 EI
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
( M N Q )ds Rk ck
1
( M N Q )ds Rk ck
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
A
2.2m 378
ω2
MP
B
C
0.8m 200 ω3
ω1
0.8
yFra Baidu bibliotek y1
y3
P=1
M
1 (220 0.533 555 0.4 53.30.6) 210 3 m 0.14 2cm 3.6465
1 C (w1 y1 w2 y 2 w3 y3 ) 0.85EI
q
Mk
dω
dx
ω
x
x0
w y0 MM P dx EI EI 注： ①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
至少有一个是直线。
α Mi=xtgα
Mi
y0 x
y0=x0tgα
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 ③竖标y0取在直线图形中，对应另一（取面积）图形的形心处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号。
（2）桁架
NN P NN P NN Pl ds ds EA EA EA
（3）拱
MM P NN P ds ds EI EA
5
例4：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP 须分段写
M ( x) x l (0 x l )