五年级奥数几何勾股定理与弦图B级学生版

勾股定理与弦图

课前预习

华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，“年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人1876……”那是他反复思考与演算正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德请问先生，如果直角三角形的两条直角边分“便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“别为如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下：

两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，

则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即

（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2

2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×）＋（abc÷2

222 b化简整理得a＋＝c

点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．

而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？

在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。

公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、

五．

句股各自:三国时期的赵爽注解道

,,以句股之差自相乘为中黄实:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,并之为弦实,开方除之,即弦.案乘,亦成弦实．加差之

短面曰句，长面曰股，相与结:汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到.角曰弦句短其股，股短其弦．句股各自乘，并，而开方除之，即弦．

勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

??2ab?Sc?ba??4?ABCD正方形C_2B_222.?b?a?c DA__12

将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：:）方法二2（．

a EFG正方?

.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：“总统”法（3）方法三：(a?b)(a?b)112cS?2??ab?ABCD 梯形222222.a???bc

知识框架

勾股定理:

A直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．较长的直角边、最短的边、股——注：勾——cb斜边。弦——CB a勾股定理实际上包含两方面的内容：①如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方；

②如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形．

勾股数：

222的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：=c3、4a满足、+b5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。

HG弦图：

FE

重难点

：重点会用勾股定理解决简单问题。1. 会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形

2.：难点勾股定理与弦图的联系与应用

3.

例题精讲

时海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以1216【例1】已知，如图，一轮船以海里/_________ 2小时后，则两船相距的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口海里40海里35 D 25海里 B 30海里 C A

北

A

东

南

60，则它的面积是＿＿＿. 【巩固】一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为

如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别】【例2 ，那么最小的正方形的面积为和是676576

如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为

巩固】【2 ___________cm，D的面积之和为。CBA7cm,则正方形，，

C

D

B

A

7cm

，求四，且∠A=90°AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm3【例】已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，ABCD的面积。边形D

A

B

C

. BC=12m，求这块地的面积AB=13mAD，巩固【】如图所示的一块地，已知AD=4mCD=3m，⊥DC，，

C

A

D

B

】一个正方形花圃，由四块种着不同花的长方形地组成，如图，已知图中虚线表示的正方形的面积4【例平方米。_______米，则每块长方形地3平方米，长方形的长比宽多35为

【巩固】如下图，大正方形面积为27平方厘米，小正方形面积为3平方厘米，求A、C两个梯形

的面积之和是多少?

【例5】太阳刚刚从地平线升起，巴河姆就在草原上大步朝东方走去，他走了足足有10俄里才左拐弯，接着又走了许久许久，再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时，他发现天色不早了，而自己离出发点还足足有17俄里，于是改变方向，拼命朝出发点跑去，在日落前赶回了出发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？

【巩固】智能机器猫从平面上的O点出发.按下列规律行走:由O向东走12厘米到A,由A向北走24厘米11到A,由A向西走36厘米到A,由A向南走48厘米到A,由A向东走60厘米到432423

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