五年级奥数几何勾股定理与弦图B级学生版

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勾股定理与弦图

课前预习

华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们:在那山的那边海那边的美国首都华盛顿,有一位中年人,他聪明又勤奋,他潜心探讨,“年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人1876……”那是他反复思考与演算正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。由于好奇心驱使,加菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德请问先生,如果直角三角形的两条直角边分“便问他们在干什么?那个小男孩头也不抬地说:3和4,那么斜边长为多少呢?”加菲尔德答道:“是5呀。”小男孩又问道:“别为如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”加菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩说:“先生,你能说出其中的道理吗?”加菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味。加菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下:

两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE,

则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即

(AC+DE)×CD÷2=AC×BC÷2+BD×DE÷2+AB×BE÷2

2÷2=a×b÷2+a×b÷2+c×)+(abc÷2

222 b化简整理得a+=c

点评:此种解法主要利用了三角形的面积公式:底×高÷2,和梯形的面积公式:(上底+下底)×高÷2.

而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪?

在我国古代,把直角三角形叫做勾股形。

把直角三角形的较短直角边称为“勾”,较长直角边为“股”,斜边称为“弦”,所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即:在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。

公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五.既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、

五.

句股各自:三国时期的赵爽注解道

,,以句股之差自相乘为中黄实:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,并之为弦实,开方除之,即弦.案乘,亦成弦实.加差之

短面曰句,长面曰股,相与结:汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到.角曰弦句短其股,股短其弦.句股各自乘,并,而开方除之,即弦.

勾股定理的证明:

(1)方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:

??2ab?Sc?ba??4?ABCD正方形C_2B_222.?b?a?c DA__12

将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形::)方法二2(.

a EFG正方?

.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形:“总统”法(3)方法三:(a?b)(a?b)112cS?2??ab?ABCD 梯形222222.a???bc

知识框架

勾股定理:

A直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方.较长的直角边、最短的边、股——注:勾——cb斜边。弦——CB a勾股定理实际上包含两方面的内容:①如果一个三角形是直角三角形,那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方;

②如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么它一定是直角三角形.

勾股数:

222的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.常用勾股数:=c3、4a满足、+b5;5、12、13;7、24、25;8、15、17。

HG弦图:

FE

重难点

:重点会用勾股定理解决简单问题。1. 会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形

2.:难点勾股定理与弦图的联系与应用

3.

例题精讲

时海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以1216【例1】已知,如图,一轮船以海里/_________ 2小时后,则两船相距的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口海里40海里35 D 25海里 B 30海里 C A

A

60,则它的面积是___. 【巩固】一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为

如图,以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形,如果两个较大正方形的面积分别】【例2 ,那么最小的正方形的面积为和是676576

如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为

巩固】【2 ___________cm,D的面积之和为。CBA7cm,则正方形,,

C

D

B

A

7cm

,求四,且∠A=90°AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm3【例】已知,如图,四边形ABCD中,AB=3cm,ABCD的面积。边形D

A

B

C

. BC=12m,求这块地的面积AB=13mAD,巩固【】如图所示的一块地,已知AD=4mCD=3m,⊥DC,,

C

A

D

B

】一个正方形花圃,由四块种着不同花的长方形地组成,如图,已知图中虚线表示的正方形的面积4【例平方米。_______米,则每块长方形地3平方米,长方形的长比宽多35为

【巩固】如下图,大正方形面积为27平方厘米,小正方形面积为3平方厘米,求A、C两个梯形

的面积之和是多少?

【例5】太阳刚刚从地平线升起,巴河姆就在草原上大步朝东方走去,他走了足足有10俄里才左拐弯,接着又走了许久许久,再向左拐弯,这样又走了2俄里,这时,他发现天色不早了,而自己离出发点还足足有17俄里,于是改变方向,拼命朝出发点跑去,在日落前赶回了出发点。这是俄罗斯大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。你能算出巴河姆这一天共走了多少路?走过的路所围成的土地面积有多大吗?

【巩固】智能机器猫从平面上的O点出发.按下列规律行走:由O向东走12厘米到A,由A向北走24厘米11到A,由A向西走36厘米到A,由A向南走48厘米到A,由A向东走60厘米到432423

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