立体几何综合测试卷

立体几何

一、选择、填空题

1、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表

面积为

A. 87π

B ．16π

C ．32π

D ．64π

2、如图，在正四棱柱1111CD C D AB -A B 中，2,11==AA AB ，点P 是

平面1111C D A B 内的一个动点，则三棱锥ABC P -的正视图与俯视图的面

积之比的最大值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．21

D ． 41

！

第2题 第3题

3、若某几何体的三视图(单位：cm)如右上图所示，则此几何体的表面积是( )cm 2

π π π+12 π+12

4、已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为

(A) 3 (B)23 (C)33 (D)43

5、已知四棱锥P-ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD 的高为

C. 5

D.6

6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

.

(A)8－2π

(B) 8－

34

π (C) 8－23

π (D)8－2π 7、已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为22，则该球的表面积为 ．

8、若m 、n 是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是

A ．若m βαβ?⊥，，则m α⊥

B ．m n m n αγβγ==，，，则αβ

C ．若αγαβ⊥⊥，，则βγ

D ．m m βα⊥，，则αβ⊥

9、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

．

10、若l、m、n是互不相同的空间三条直线，αβ

、是不重合的两个平面，下列结论正确的是（）

/

A、α∥β，l ?α，n?β?l∥n；

B、l⊥α，l∥β?α⊥β

C、l⊥n，m⊥n?l∥m；

D、α⊥β，l?α?l⊥β；

11、甲几何体(上)与乙几何体（下）的组合体的三视图如下图所示，甲、乙几何体的体积分别为

1

V、2

V,则

12

:

V V等于（）

A．1:4B．1:3C．2:3D．1:π

12、已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示.则该几何体的表面积等于

A．6043221

++

B．6023221

++

C．6023421

++

D．6043421

++

，

13、设,a b是两条不同的直线，αβ

、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若//,//

a b aα，则//

bα B. 若,//

a

αβα

⊥，则aβ

⊥

C. 若,a

αββ

⊥⊥，则//

aα D. 若,,

a b a b

αβ

⊥⊥⊥，则αβ

⊥

14、右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为▲．

23

C M F E

D B

: 第14题 第15题

15、）已知一个几何体的三视图如右上图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么，该几何体的外接球的表面积为

二、解答题

:

1、

已知四棱台ABCD- A 1B 1C 1D 1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA 1=4且

AA 1⊥底面ABCD ，点P 为DD 1的中点．

(I)求证：AB1⊥面PBC;

(Ⅱ)在BC 边上找一点Q ，使PQ ∥面A 1ABB 1，并求三

棱锥Q-PBB 1的体积。

·

2、

如图，空间几何体BCF ADE -中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，DC AD ⊥，4,2====EF DE AD AB ，M 是

线段AE 上的动点．

（1）试确定点M 的位置，使AC MDF MDF BCF ADE -DEF M -BCF ADM -1213

3

（I）求点B到平面PAC的距离;

（Ⅱ）求异面直线PA与BC 所成角的余弦值。

6、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD ，PD∥MA，E，

G，F 分别为MB，PB，PC 的中点，且AD PD 2MA．

（Ⅰ）求证：平面EFG⊥平面PDC；

（Ⅱ）求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比．

;

7、在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC = 90°，AB = AD = PD = 2，CD = 4．

(1)求证：BC⊥平面PBD；

(2)设E是侧棱PC上一点，且CE = 2PE，求四面体P－BDE的体积．

8、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．

求证： （Ⅰ）平面PA ∥平面BDE ；

（Ⅱ）平面PAC ⊥平面BDE ．

9、在如图所示的四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ＝2，点E 为PC 的中点，连接DE ，BD ，BE 。

（1）证明：PA ∥平面DBE ；

（2）若直线BD 与平面PBC 所成角的为30°，求点E 到平面PDB 的距离。

{

10、如图，在三棱锥P ABC -中，△PAB 是正三角形，在△ABC 中，AB BC ⊥,且D 、E 分别

为AB 、AC 的中点．

（1）求证：//DE 平面PBC ；

（2）求异面直线AB 与PE 所成角的大小．

11、如图，已知长方形ABCD 中，22AB =，2AD =

，M 为DC 的中点．将ADM ?沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．

(Ⅰ)求证：AD BM ⊥；

^

(Ⅱ)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，三棱锥E ADM -的体积与四棱锥D ABCM -的体积之比为1:3

12、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ABCD ⊥底面，E 是PC 的中点。

（1）证明：//PA EDB 平面；

（2）证明：PAC PDB ⊥平面平面。

[

！

\

~

参考答案：

1、C

2、B

3、D

4、B

5、C

6、D

7、25π

8、D

9、 10、D

11、B 12、A 13、D 14、644π+ 15、12π

1、.解(1)∵1AA ⊥面ABCD ，BC ?面ABCD ∴1AA ⊥BC

∵ABCD 是正方形，∴AB ⊥BC ∴BC ⊥面B B AA 11

∵1AB ?面B B AA 11 ∴1AB ⊥BC ………………2分

取1AA 中点M 连结BM ,PM

∴PM ∥AD,∴PM ∥BC ∴PMBC 四点共面

《

由△ABM ≌△A B A 11，可证得1AB ⊥BM ………………4分

∵BM ∩BC =B ，∴1AB ⊥面PBC ……………………6分

（2）在BC 边上取一点Q ，使

PQ 1

1A ABB 3)(2111=+AD D A C C BB 111111MBB Q QBB M QBB P PBB Q V V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥6||311=??=?BQ S MBB CF B 'CF B '=V S 84222

1=???32022221318=???

? ?????-=-='-'--　V V V C B B F CF B ADE BCF ADE 三棱柱341422131=???? ?????=-　V DEM F 三棱锥3434320-4

1

22BD =22BD =222cos 4522

2BD DC BC BC BD DC +-?=?=?23EF CE PD PC ==43EF =112339P BDE P BCD E BCD BCD BCD BCD V V V PD S EF S S ---=-=

?-?=1142422BCD S CD AD =?=??=89

P BDE V -=OE DBE PA DBE ??平面，平面 ………………4分 （2）解：∵侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BC ．

底面是矩形，∴BC ⊥DC ，且PD∩DC=D ，

∴BC ⊥平面PDC ．

∴BC ⊥DE ．

PD=DC ，E 为PC 的中点，∴DE ⊥PC ．

又PC∩BC=C ，∴DE ⊥平面PBC ． ………………8分

故若直线BD 与平面PBC 所成的角即∠DBE =30°． |

由已知可求出2,22,DE DB ==∴BC =2． ………………9分

11112222223232

E PDB D PEB V V h --=????=????由得， ……11分 解得2h = ………………12分 (注：本小题可直接过点E 作平面PBD 的垂线)

10、证明：（I ）在△ABC 中，//DE BC

DE ?平面PBC ,BC ?平面PBC .........................4分（少一个条件扣1分）

∴//DE 平面PBC ...... ...................5分

（II ）连接PD ，在正△PAB 中，D 为AB 中点，PD AB ∴⊥,.........................7分

AB BC ⊥，//DE BC ，DE AB ∴⊥，......... ................9分

PD 与DE 是平面PDE 内的两相交直线，AB ∴⊥平面PDE ,.........................10分

`

∴AB PE ⊥，故异面直线AB 与PE 所成角为90..........................12分

（通过平移直线AB 至E 点后与BC 相交于点F ，连接PF ，在△PEF 内用余弦定理求解亦可）

11、(Ⅰ) 证明：∵长方形ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为DC 的中点，

∴AM=BM=2，∴BM ⊥AM. ………………2分

∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM∩平面ABCM=AM ，BM ?平面ABCM

∴BM ⊥平面ADM ∵AD ?平面ADM ∴AD ⊥BM ………………6分 (Ⅱ)E 为DB 的中点． ………………7分

1112122233

E ADM B ADM D ABM D ABCM D ABCM V V V V V -----===?= ………………12分 12、解：（1）设AC 与BD 相交于点O

则O 为AC 的中点

E 是P 的中点

//EO PA ∴

又EO ?平面EDB ,PA ?平面EDB

//PA ∴平面EDB

(2)PO ⊥ 平面ABCD PD AC ∴⊥

又四边形ABCD 为正方形 AC BD ∴⊥

从而AC ⊥平面PBD ,平面PAC ⊥平面PBD