圆的方程综合应用教案

§2.2圆的方程综合应用教案

2.2圆的方程综合应用

教学目标

1、知识技能目标：（1）掌握圆的标准方程及一般方程的结构特征；

（2）理解直线与圆以及圆与圆的位置关系的几何性质；（3）会求与圆有关的点的轨迹问题；

（4）会用"数形结合"的数学思想解决问题

2、过程方法目标：培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.

3、情感态度价值观目标：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.

教学重点根据条件灵活选用方法求圆的方程.

教学难点对圆方程的认识、掌握和运用.

教学过程

一、复习回顾

1.圆的方程有几种形式?分别是哪些?

2．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?

3. 直线与圆的位置关系有哪几种？

4. 如何求圆的切线方程？如何求圆的弦长？

5. 圆与圆的位置关系有哪几种？

6. 怎样求两圆相交时的公共弦的方程？

二、例题精讲

例1 已知方程.

（1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；（2）若方程表示的图形是是一个圆，当m变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由.

答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线y=2x+5上，半径为2.

例2 已知圆,Q是轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A，B两点

(1)若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程；

(2)求四边形QAMB的面积的最小值；

(3)若，求直线MQ的方程.

分析：(2)用一个变量表示四边形QAMB的面积(3)从图形中观察点Q满足的条件

解析：（1）设过点Q的圆M的切线方程为，则圆心M到切线的距离为1，

或0，切线QA、QB的方程分别为和（2），（3）设与交于点，则

，在中，，即设，则

直线的方程为或

点评：转化是本题的关键，如：第（2）问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第（3）问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离.弦长、切线长问题经常要这种转化.

例3 已知圆O的方程为且与圆O相切.

（1）求直线的方程；

（2）设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标.

（1）∵直线过点，且与圆：相切，

设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离为，解得，

∴直线的方程为，即．

（2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为

解方程组,得同理可得,

∴以为直径的圆的方程为，

又，∴整理得，

若圆经过定点，只需令，从而有，解得，

∴圆总经过定点坐标为．

例4 已知圆，相互垂直的两条直线、都过点.

（Ⅰ）若、都和圆相切，求直线、的方程；

（Ⅱ）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线、都相切，求

圆的方程；

（Ⅲ）当时，求、被圆所截得弦长之和的最大值.

解答：（Ⅰ）显然，、的斜率都是存在的，设，则

则由题意，得，

解得且，即且

∴、的方程分别为与或与

（Ⅱ）设圆的半径为，易知圆心到点的距离为，∴解得且，

∴圆的方程为

（Ⅲ）当时，设圆的圆心为，、被圆所截得弦的中点分别为，弦长分别为，因为四边形是矩形，所以,即

，化简得从而，即、被圆所截得弦长之和的最大值为

变式题1：已知方程，求的最大值.

解：圆方程可化为

圆心为半径为，

由几何意义可知，的最大值为.

变式题2：若实数满足，求的最大值.

解：由题意知，

由几何意义可知，的最大值为.

变式题3：已知点，为圆上任一点，求的最大值及最小值.

解：最大值为7，最小值为3

四、课堂精练

1.已知圆C：（x-a）2+(y-2)2=4 (a＞0)及直线l:x-y+3=0,

当直线l被圆C截得的弦长为时，则a=. 答案：

2.直线与轴的交点分别为A、B，O为坐标原点，则内切圆的

方程为.答案：

3.过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程

为 .答案：4.已知圆C1：与圆C2相交于A，B两点，

则线段AB的中垂线方程为.答案：x+y-3=0

五、回顾小结：

1．方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程

的转化.

2．在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和

圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式．在解题

时注意运用平面几何知识及数形结合的思想．

3．使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方

程或一般方程；⑵根据条件列出关于a,b, r 或 D, E, F 的方程组；⑶ 解出 a,b, r 或 D, E, F ，代入标准方程或一

般方程.

分层训练

1. 能够使得圆x2+y2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线

2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围

为.答案：

2. 若圆始终平分圆的周长,则实数应满足

的关系是.

解：公共弦所在的直线方程为

圆始终平分圆的周长

圆的圆心在直线上即3.已知两圆相交于两点,两圆圆心都在直线上,则的值是

解:两点关于直线对称,, 线段的中点(3,1)在直线上,

4.已知曲线，点及点，以点A观察点B，要使视线不被曲

线C挡住，则a的取值范围是. 答案：

5.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.

解∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，

∴切线的斜率是±1，或切线过原点.

当切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得

2x2-2（b-3）x+（b2-4b+3）=0.或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0, 由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0，即［2(b-3)］

2-4×2×（b2-4b+3)=-b2+2b+3=0,

∴b=3或-1,Δ2=0,即［2(c-1)］

2-4×2×(c2-4c+3)=-c2+6c-5=0.