单自由度系统

第二章 单自由度系统的自由振动

本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。

§2-1 无阻尼系统的自由振动

无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K

若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动

到x ，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由

于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘

积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m &&

(1-1-1 令

m

k

p =

2 (1-1-2)

单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为

02=+x p x &&

(1-1-3)

设方程的特解为 st

e x =

将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为

ip

s p s ±==+2,1220

则(1-1-3)的通解为

pt

D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4)

C 、

D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时

00,x x x x &&==

（1-1-5）

()x m x k W F &&

=+∆-=

∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ∆

==k mg

W x

&x

)

则

pt p

x pt x x sin cos 0

0&+

= （1-1-6）

经三角变换，又可表示为

)sin(α+=pt A x

（1-1-7）

其中 0012

20,x px tg p x x A &&-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=α （1-1-8） 自由振动的振幅A 和初相位角与系统的参数和初始条件有关。

系统的振动周期

k

m

p T π

π22==

秒（s ） 系统振动的频率为

) ( 21211mg k g

m k T f n =∆∆

===

ππ 秒-1(s -1)或(Hz) 系统振动的圆频率为T

f m k p n ππ22=== 弧度/秒(rad/s)

§2-2 能量法

系统的动能T 与势能U 之和称为系统的机械能。在没有阻尼的情形下，系统没有能量损失，机械能将守恒，即 T+U=常量 （2-2-1） 因而有

0)(=+U T dt

d

（2-2-2）

应用上二式好可得到系统的运动方程和固有频率。 设物体按x=Asin （n +）的规律作谐振动。取平衡位置为零势能点，物体在任意位置x 时的动能T 和势能U 分别为

222

,2x k U x m T ==

& 将上二式代入（1-2-2）可得系统运动方程。

当物体运动经过平衡位置x=0时，动能达最大值

22max 21

A mp T =

当物体位移最大时，即x=A ，T=0，U 达最大值 2max 2

1kA U =

因此 T max =U max

（2-2-3）

即

2222

121kA A m n =ω

得 m

k p m k

p

==

,2

§2-3 阻尼系统的自由振动

实际系统中阻尼总是存在的，它不断消耗系统的能量，使运动逐渐减弱，直至振动完全消失。 阻尼产生的根源有多种，不同的来源产生的阻尼力其变化规律也不相同。常见是一种粘性阻尼，其阻尼力与物体运动速度大小成正比，方向与速度方向相反，即 F R =cv

其是c 称为粘性阻尼系数，v 为物体的运动速度。 粘性阻尼系统的运动方程:

0=++kx x c x m &&& (2-3-1) 令

p m

c

p m k ζ2,2== (2-3-2)

(1-3-1)运动方程化为

022=++x p x p x &&&ζ

(2-3-3)

设特解

st e x =

得特征方程及特征根

p

s p ps s )1(,022

2,122-±-==++ζζζ (2-3-4)

方程(1-3-3)的通解 t s t

s e C e C x 2121+=

(2-3-5) 或

p

s p

s e

C e

C x )1(2)1(122,122,1---=-+-=+=ζζζζ

(2-3-6)

阻尼讨论:

1.>1,大阻尼情形 由于s 1、s 2 均为负实数，运动解x 将按指数规律减小，并趋于平衡位置。

2.=1,临界阻尼情形 特征方程有重根 s 1=s 2=-p ，方程的通解为

pt e Dt C x -+=)(

（2-3-7）

系统受初始干扰离开平衡位置后又逐渐回到平衡位置，运动不明往复性的。