单纯形法

劳动力Leabharlann Baidu配问题
劳动力分配问题属于资源分配问题，在求得 最优方案后发现某些资源相对过剩，而有些 资源又相对紧缺；假设在一些条件下，不同 种类资源量在一定条件下可以置换或可以共 享；我们可以把相对过剩的资源“置换”成 相对紧缺的资源以达到扩大生产规模增加利 润的目的。 具体案例如美克制造公司的劳动力分配问题
线性规划应用


线性规划在很多领域都有应用, 除经典应用模型外, 一些 较为复杂应用案例来进一步说明线性规划建模技术与用 Excel求解方法. 混合问题 在生产安排问题中,管理层有时必须决定怎么混合两类以 上的资源来生产多种产品,最终产品中包含资源中一种以 上的基本成份, 而且成品包含一定比例的各类资源; 因此, 管理层要决定每类资源的采购量, 使得在成本最低的条件 下满足产品规格以及生产该产品的需求:这类问题通常称 之为混合问题, 广泛应用于石油、化工和食品等行业.
故B0是线性规划的一个基。对于基B0 ， x3,x4 ,x5是基变量， x1,x2,是非基变量。
单纯形法
由于P2,P3,P4 ,线性无关,
0 1 0 B1 ( P2 , P3 , P4 ) 2 0 1 3 0 0
也是线性规划的一个基。对于基基B1， x2,x3,x4 ,是基变量， x1, x5 是非基变量
巨斯特石油公司混合问题
巨斯特石油公司要生产两种汽油产品, 一种是 一般的汽油, 另一种是特殊的汽油, 公司炼油 厂希望通过合成4类石油成份来生产这两种汽 油产品; 这些汽油的售价不同,4种石油成份成 本也不同; 公司希望确定一种混合这4类石油 成份以生产两种汽油产品的方案来获取最大 的利润.
巨斯特石油公司混合问题
单纯形法
2) 不等式约束转化为等式约束 (1) 如果约束条件是线性不等式: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ b1 则通过引入松弛变量xn+1 ，将其转化为等价 的等式约束条件: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn + xn+1 = b1
单纯形法
单纯形法
我们希望找到最优的xB 即:确定xB包含,x1, x2, x3,… xn, 中哪m个, (同 时也确定xN包含,x1, x2,… xn, 中剩余的n-m 个) 然后令xN = 0 , 在约束方 程组中解出xB
可以枚举,最多有组合数
m n m n ! m !n ! n
单纯形法
由上章讨论可知, 最优解里,x1, x2, x3,… xn, 中 一般会有m个不为0(我们称为基变量,用xB), 其余n-m个必须为0 (我们称其为非基变量xN), 将约束方程组系数矩阵A分为两块(B,N), 其中B为基变量xB系数子矩阵,为mXm方阵 N为非基变量xN系数子矩阵, 为mX(n-m)矩阵
基阵（ P1 P2 P4,）基本可行解(6,2,0,4,0)对应可行区域顶点B(6,2) 基阵（ P1 P3, P4,）, 基本解(9,0,-3,8,0)对应顶点A(9,0) ………………. 另外，A的另外两个m=3阶子矩阵（ P2,P4,P5 ）和（ P1,P3,P5 ）不可逆， 不能构成基阵.
单纯形法
线性规划问题是求一个线性目标函数在一组 线性约束条件下的极值问题。目标函数根据 实际问题的要求可能求最大化也可能是求最 小化；每一个函数约束分为等价约束即约束 函数 = 右端项和不等式约束即约束函数右端 项或约束函数右端项。因此，线性规划问题 的形式有许多种，它们之间也可以相互转化.
单纯形法
单纯形法
1) 目标函数的转化 若原问题的目标函数是求最小化，即 : minimize Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn, 则可将目标函数乘以-1，等价转化为求如下最 大化问题： Maximize -Z = -c1x1 - c2x2 - . . . –cnxn 转化后的问题与原问题有相同的最优解
x’I ≥ 0, x’’i ≥ 0 . 代入原问题，即在原问题中将用两个非负变量之 差代替
单纯形法
例： 将下列线性规划问题化为标准形式:
min Z 3 x1 2 x2 4 x3
2 x1 x2 3 x3 10 x x 2x 3 3 s.t. 1 2 2 x1 x2 2 x3 8 x1 0, x3 0, x2
单纯形法


事实上，对于一般的线性规划问题（m个约束，n 个决策变量）有类似的特性： 每个基本可行解对应于可行域的顶点。 可行域中相邻的两个顶点对应基阵中只有一个基 向量不同，其余的个基向量相同。 由于线性规划的最优解是在可行域的顶点获得， 由顶点与基可行解的对应关系，我们有以下线性 规划的基本定理： 线性规划问题如果存在最优解，则一定存在一个 基本可行解是最优解。
x1 6 x3 2 1 x2 2 x3 - x 5 3 3 4 2 x4 4 x3 x5 3 3
单纯形法
将上式代入Z=4x1 +3x2中得 : Z=30- 2x3 –x5 令xN =(x3, x5 )=0, 得基本可行解X=(6,2,0,4,0) , Z’=30 由于非基变量在目标函数中系数均为小于等于 零，故X=(6,2,0,4,0)是线性规划问题最优解.
线性规划在不同领域的应用
线性规划在很多领域都有应用, 除前面的经典 应用模型外, 本章继续举例研究一些较为复杂 应用案例: 如航线安排问题P80, 水力发电问题P82, 用来 进一步说明线性规划建模技术与用Excel求解 方法. 这里不再一一列举.
单纯形法
例红星重型机械厂的产品组合问题的线性规 划问题引入松弛变量化为如下标准形式：
max
Z 4 x1 3 x2
x3 6 x1 2 x2 x4 8 s.t 2 x1 3 x2 x5 18 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
B
1
此时约束方程组有一个特殊形式的解,称为线 性规划的基本解 X B 1b
单纯形法
下面我们给出例2中基阵、基本解、基本可行解以及可行区域顶点之间 的对应关系 基阵(P3,P4 ,P5 ）基本可行解x3, =6, x4 , =8,x5=18, x1, = x2, = 0,对应可行区域 顶点O(0,0) 基阵（ P2 P3, P5 ）基本可行解(0,4,6,0,6)对应可行区域顶点E(0,4)
2 x1 x x 3 x3 x4 10 x1 x x 2 x3 x5 3 s.t. ' '' 8 2 x1 x2 x2 2 x3 ' '' x1 , x2 , x2 , x3 , x4 , x5 0
' 2 ' 2 " 2 '' 2
单纯形法
化为标准型后: Maximize Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn,
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn =bm x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0. 一般来说, m<..< n, 即: 约束个数小于变量个数
为了方便讨论，我们将选择线性规划问题的如下形 式为标准形式： Maximize Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn,
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn =bm x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0.
单纯形法
故约束系数矩阵
1 0 1 0 0 A 0 2 0 1 0 (P 1, P 2, P 3, P 4, P 5) 2 3 0 0 1 35
单纯形法
由于P3,P4 ,P5线性无关,
1 0 0 B0 ( P3 , P4 , P5 ) 0 1 0 0 0 1
这类混合问题是要决定一般汽油和特殊汽油 的每类石油成份的用量分别是多少. 明显是与 定量因素有关的决策问题; 希望通过调研收集 如下相关数据: (1) 每类石油成份单位成本及供应量; (2) 每种汽油产品售价以及对各类石油成份的 要求;
巨斯特石油公司混合问题
我们建立此问题的线性规划模型。 由于此问 题是决定两个汽油产品中每个汽油产品中各 类成分的含量，我们引入决策变量xij（i = 1， 2，3，4；j = 1，2）表示第j 种汽油产品中 成份i的含量（这里，j = 1，2分别表示 般汽 油产品和特殊汽油产品）,具体模型与求解见 P76
首先将最小化问题乘以-1，转化为最大化问题,在第一约束中 引入松弛变量x4，第二个约束中引入剩余变量x5，再令自由 变量x2=x’2– x”2 ，并将第三约束方程两边同乘以（-1), 得到 与原问题等价的线性规划标准形式：
单纯形法
max Z 3 x1 2 x 2 x 4 x3
' ' 2 '' 2
(2) 如果约束条件是线性不等式:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≥ b1 则通过引入剩余变量xn+1 ≥ 0 ， 将其转化为等价的等式约束条件: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn - xn+1 = b1
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3)变量约束的转换 在标准形式中，我们要求每个决策变量满足非负 约束，如果原问题中某个变量是自由变量（即无 非负限制）则可令 xi =x’i – x’’I,
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A ( B, N )
因此，约束方程组 变为
XB X XN
AX b
BX B NX N b
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由于B可逆，将B 左乘以上式的两边得:
1
X B B b B NX N
令xN = 0 ，则
1
1
XB B b
X XN 0
单纯形法
单纯形法一般从可行域一个顶点（通常是原 点）出发，试图在其相邻的可行域顶点中找 目标函数值更好的顶点，若在某顶点的相邻 的顶点中找不出使目标函数有改进的顶点， 则现有顶点就是最优解。
单纯形法
新的基阵变为B=（ P1 ,P2 ,P4,） ， xB = (x1,x2, x4 ）为基变量, x3,x5将看作自由变量， 用高斯消元法将原约束方程组写为: