偏导数在几何上应用.ppt

切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
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通过点 M( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
Fx , Fx
Fy )
dx dx
Gz Gx Gx Gy
切线方程为
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
0
(x
x0 )
Fz Gz
Fx Gx
0
(y
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
0
(z
z0 )
0
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二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F(x, y,z) 0
在曲面上任取一条通 过点M的曲线
n
T
M
x (t)
:
y
(t
)
,
z (t)
曲线在M处的切向量
T
{ (t0
),
(t0
),
(t0
)},
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令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 则 nT, 由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条 曲线，它们在 M 的切线都与同一向量n垂直，故曲面 上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一平面 上，这个平面称为曲面在点 M 的切平面.
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例 3 求曲面 z ez 2xy 3在点(1,2,0)处的
切平面及法线方程.
解 令 F( x, y, z) z ez 2xy 3,
Fx (1,2,0) 2 y (1,2,0) 4,
F y (1,2,0)
2x (Fra Baidu bibliotek,2,0)
2,
F z (1,2,0) 1 e z (1,2,0) 0, 切平面方程
fx ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 , 曲面在M处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
x
•M
o
y
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割线 MM 的方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0
x
y
z x
•M
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 t,
x x0 y y0 z z0 , x y z
t
t
t
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例 2 求曲线 x2 y2 z2 6，x y z 0在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
解 将所给方程的两边对 x求导并移项，得
y dy dx
dy
z dz
dz dx 1
x
dx dx
dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
dy
0,
dx (1,2, 1)
1 ( x0 ) ( x0 )
法平面方程为
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.
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2.空间曲线方程为
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
ur T (1,
dy ,
dz ) (1, Fz
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§5 偏导数在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
x (t)
设空间曲线的方程
y
(t
)
(1)
z (t )
z
• M
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z) 对应于 t t0 t.
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0, 法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
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特殊地：空间曲面方程形为 z f ( x, y)
令 F(x, y,z) f (x, y) z, 曲面在M处的切平面方程为
( x 1) 5( y 1) 3(z 1) 0 即 x 5y 3z 9
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【讨论】
1.空间曲线方程为
y z
( (
x) ,
x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
r
T 1, f (x0 ), g(x0 )
切线方程为
x x0 y y0 z z0 ,
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例1 求曲线x=t,y=t5,z=t3在点(1,1,1)处的切线及法平
面方程.
解：
Q xt' 1，yt' 5t4，zt' 3t2, 点(1,1,1)对应的参数t 1 r
故 T 1,5,3
则切线方程为 x 1 y 1 z 1
1
5
3
法平面方程为
dz
1,
dx (1,2, 1)
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由此得切向量
T {1, 0,1},
所求切线方程为
x 1 y 2 z 1,
1
0 1
法平面方程为
( x 1) 0 ( y 2) (z 1) 0,
xz0
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称为曲面在该点的法线. 法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
曲面在M处的法向量即
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
当M M ,即t 0时 , 曲线在M处的切线方程
x x0 y y0 z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 )
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T
(t0
),
(t0
),
(t0
)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0